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Ces splines monotones sont utilisés pour obtenir une approximation de l’estimateur ˆΛ.Tous les M i sont polynomiaux par morceaux de degré k − 1 et chaque I i associé estpolynomial par morceaux, de degré k, et défini (avec t i ≤ x < t i+1 ) par :⎧0 si j > i,⎪⎨ i∑I j (x|k) = (t m+k+1 − t m ) M m(x|k + 1)si i − k + 1 ≤ j ≤ i,k + 1m=j⎪⎩1 si i < j − k + 1Une fonction spline est complètement définie par une séquence croissante de nœuds(t 1 , ..., t l ) et par un vecteur de coefficients des splines η ′ = (η 1 , ..., η m ). Ainsi, dans chaquestrate nous avons m = l + 2 paramètres pour estimer la fonction de risque. Dans notreapplication nous utilisons des M-splines d’ordre 4 et des I-splines associés du même ordre(ces splines sont non nuls sur 4 intervalles définis par 5 nœuds). Les M-splines sont dedegré 3 (on parlera de splines cubiques) et les I-splines sont de degré 4.La fonction de risque cumulée de base est approchée sur une base de I-splines :m∑˜Λ 0 (.) = η i I i (.) et η i ≥ 0i=1par différentiation, on obtient la fonction de risque de base qui est approchée par unecombinaison linéaire de M-splines :m∑˜λ 0 (.) = ηi 2 M i (.) et η i ≥ 0i=1Dans ces expressions les M-splines sont des fonctions non-négatives et les I-splines sont desfonctions monotones croissantes. La contrainte de monotonicité de Λ 0 (.) et de positivité deλ 0 (.) est remplie en imposant des coefficients de splines (ηi 2 ) positifs. La fonction de risqueet la fonction de risque cumulé sont ainsi approchées par deux bases de splines différentes(M-splines et I-splines), mais avec le même vecteur des coefficients η ′ = (η 1 , ..., η m ).Pour définir la séquence des nœuds (t 1 , ..., t l ) on pourrait mettre un nœud à chaque datemais le coût numérique serait trop élevé, notamment pour une grande taille d’échantillon.Nous avons choisi de placer un nœud au premier et au dernier temps de survie et de placerles autres nœuds de façon équidistante entre ces deux dates. On peut noter que plus onaura de nœuds, meilleure sera l’approximation ; cependant une fois qu’un nombre suffisantde nœuds est établi, nous n’avons aucun intérêt à en rajouter. De plus, en rajoutant