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apparent plus faible qu’il ne serait dans une population homogène. Dans les analyses desurvie, si ces variations non observées sont ignorées, elles peuvent créer un biais importantsur l’estimation des paramètres et sur l’estimateur de la fonction de risque [14]. En effet sicertains individus ont un risque élevé de développer l’événement en raison de certaines variablesnon observées, ils vont décéder rapidement et les individus restant à risque auronttendance a être un groupe sélectionné avec un risque associé plus faible. Une estimation dela fonction de risque sans tenir compte de ces variables non observées va conduire en unesous-estimation du risque réel et ceci de plus en plus au fur et à mesure que le temps passe.Nous pouvons supposer par exemple que certaines variables explicatives sont connuesx 1 , ..., x p mais d’autres variables explicatives également importantes w 1 , ..., w m sont inconnues.En supposant qu’elles ont toutes une influence sur le risque, les temps de survieseront modélisés par un modèle à risques proportionnels de Cox :λ j (t) = λ 0 (t) exp(β jX ′ j + Ψ ′ jW j )Le vecteur W étant inconnu, ce modèle ne peut pas être utilisé en pratique. On vadonc supposer que exp(Ψ ′ jW j ) est un effet aléatoire, et le modèle devientλ j (t, X j , |Z j ) = Z j λ 0 (t) exp(β ′ jX j ) (2.4)Ce modèle est une extension du modèle à risques proportionnels de Cox, dans lequel onintroduit un effet aléatoire Z j spécifique à chaque sujet, appelée variable de fragilité, quiagit multiplicativement sur le risque. Cette quantité décrit les facteurs de risque, mesurablesou non mesurables, non inclus dans le modèle.Ce modèle de survie à effets aléatoires a été proposé par Vaupel et al [89]. Plusgénéralement ce modèle à fragilité s’écritλ j (t, X j |Z j ) = Z j λ j (t, X j ) (2.5)où, λ j (t, X j ) est la fonction de risque pour un individu j, et λ j (t, X j |Z j ) est la fonctionde risque conditionnelle à l’effet aléatoire Z j . Cette fonction de risque individuelle estnon observée. Les effets aléatoires Z j sont supposés identiquement et indépendammentdistribués.
La fonction de risque marginale (ou observée), s’obtient en intégrant sur Z la fonctionde risque conditionnelle, et sera notée λ j (t, X j ). Une formule générale pour la fonction derisque marginale peut être obtenue par la transformation de Laplace.La transformation de Laplace pour une variable aléatoire Z est définie par L(s) =E[exp(−Zs)]. La fonction de survie conditionnelle s’écrit :S(t, X|Z) = exp(−ZΛ(t, X))et la fonction de survie marginale peut alors s’exprimer en fonction de la transformationde Laplace :S(t, X) = E[exp(−ZΛ(t, X))] = L(Λ(t, X))La fonction de risque marginale (ou risque dans la population) peut également s’exprimeren fonction de la transformation de la Laplaceλ(t, X) =∫ ∞0( )Zλ(t, X)g(z)dz = λ(t, X) − L′ (Λ(t))L(Λ(t))(2.6)λ(t, X) = λ(t, X)E[(Z|T ≥ t)] (2.7)où g(z) est la fonction de densité de la variable de fragilité. Ainsi, le risque dans la population(ou risque observé) est le risque moyen parmi les sujets survivants, à un temps donné.Les individus fragiles avec des valeurs élevées de Z auront tendance à décéder en premier.Ainsi, E(Z|T ≥ t) la fragilité moyenne dans la cohorte des survivants, va décroître avecl’âge. L’équation (2.7) montre que le risque de décès dans la cohorte (λ(t, X)) augmentemoins vite que le risque de décès pour un individu de la cohorte (λ(t, X)). La nature dela relation entre le vieillissement individuel et celui dans la cohorte va dépendre de ladistribution des variables de fragilité.Distribution de la variable de fragilitéIl semblerait raisonnable de choisir une loi log-normale pour la distribution des variablesde fragilité, car cela correspondrait à une variable explicative normalement distribuée.Cependant cette distribution est moins facilement utilisable que d’autres distributions.La distribution qui est la plus utilisée reste la loi gamma. L’utilisation de cetteloi a été cependant critiquée par Hougaard [46]. Les modèles gamma à fragilité imposent
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géographique comme celle de Paquid
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Bibliographie[1] Aalen OO. Nonparam
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[24] Cox DR. Regression models and
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[52] Kaplan EL, Meier P. Nonparamet
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[78] Rifat S, Eastwood MR, McLachla
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Annexe ATaux d’incidence de la d
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