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à risque en t j , et sachant qu’un individu est décédé en t j , la probabilité conditionnelle quele sujet (j) décède en t j parmi les sujets à risque au temps t j est égale àV j = λ(t j, x (j) )∑l∈R jλ(t j , x l ) = exp(β′ x (j) )∑l∈R jexp(β ′ x l )(2.2)Cette probabilité ne dépend pas de la fonction de base λ 0 (t) considérée comme un paramètrede nuisance. La vraisemblance partielle de Cox [26] est le produit des probabilitésconditionnelles calculées à chaque temps de décès t j (1 ≤ j ≤ k).V (β) =k∏j=1exp(β ′ x (j) )∑l∈R jexp(β ′ x l )Pour tenir compte de la présence de cas ex aequo, on peut utiliser l’expression approchéede la vraisemblance :V (β) =k∏j=1exp(β ′ y j )[ ∑ l∈R jexp(β ′ x l )] n joù, y j = ∑ i∈D jx j est la somme des vecteurs des variables explicatives des n j sujetsdécédés au temps t j . Cette approximation est satisfaisante lorsque le nombre d’ex aequon’est pas élevé.La vraisemblance partielle de Cox peut être utilisée pour analyser des données tronquéesà gauche et censurées à droite. La différence avec le modèle de Cox classique pour donnéescensurées à droite réside dans la définition du nombre de sujets à risque. Le nombre desujets à risque au temps t j est N j = ∑ nj=1 I(L i ≤ t j ≤ Y i ) et R ∗ j est l’ensemble des indicesdes sujets à risques au temps t j (où L i est le temps de troncature gauche ).L’estimateur du vecteur des coefficients de régression β est obtenu en maximisantcette vraisemblance partielle. Plus précisément, on définit la fonction de score U(β) =∂ ln V (β)/∂β (le vecteur des dérivées premières de ln V (β)). L’estimateur ˆβ ′ = ( ˆβ 1 , ˆβ 2 , ..., ˆβ p )est la solution de l’équation U(β) = 0. Cette solution peut être calculée en utilisant uneprocédure itérative de maximisation. Les estimateurs ˆβ j suivent approximativement uneloi normale. La matrice de variance-covariance des estimateurs de ˆβ est estimée par I −1 ( ˆβ),où I(β) = E(− ∂2 ln V (β)) est la matrice d’information de Fisher.∂ 2 βL’utilisation de la vraisemblance partielle élimine la fonction de nuisance λ 0 (t). Onpeut néanmoins utiliser l’estimateur ˆβ pour construire un estimateur (de Breslow) de la