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une valeur élevée de ∫ λ ′′0(u) 2 du, et par conséquent une faible valeur de la vraisemblancepénalisée.Dans le cadre du modèle à fragilité partagée avec des temps de survie censurés àdroite et tronqués à gauche et une variable de fragilité Z i qui suit une loi gamma, lalog-vraisemblance pénalisée prend la forme :pl(λ 0h (.), β, θ) ={G∑ ∑ K∑n ihδ ihj {β ′ X ihj + ln(λ 0h (Y ihj ))} (3.2)i=1h=1 j=1−(1/θ + m i ) ln[1 + θ]K∑ ∑n ih(Λ 0h (Y ihj ) − Λ 0h (L ihj )) exp(β ′ X ihj )h=1 j=1}∑m i+I{m i ≠ 0} [ln(1 + θ(m i − k))] −k=1K∑∫κ hh=1λ ′′0h(u) 2 duoù, I{.} est la fonction indicatrice.A partir de cette expression (3.2), nous sommes en présence de trois paramètres d’intérêtinconnus :– la variance des effets aléatoires θ,– les coefficients de régression β traduisant l’effet des variables explicatives,– la fonction de risque de base (et la fonction de risque cumulée de base) pour chaquestrate.La maximisation de la log-vraisemblance pénalisée (3.2) dans la classe de fonctions désiréedéfinit les estimateurs du maximum de vraisemblance pénalisée (MPnLE) ˆλ 0h (.) des fonctionsde risque de base et par conséquent des fonctions de risque cumulées de base ˆΛ 0h (.).L’estimateur de la fonction de risque reste non-paramétrique, car aucune autre hypothèsen’est faite quant à la forme de la fonction de risque. Les estimateurs ˆθ de la variance deseffets aléatoires et les estimateurs ˆβ des paramètres de régression seront également définiscomme les estimateurs du maximum de vraisemblance pénalisée.L’approche par vraisemblance pénalisée peut également s’adapter aux modèles à fragilitécorrélée. Dans l’expression de la log-vraisemblance pénalisée (3.1), la log-vraisemblancel(.) devient le logarithme de la vraisemblance pour un modèle à fragilité corrélée présentéedans l’expression (2.20). Dans le reste de l’exposé nous ne présenterons que l’estimationsur un modèle à fragilité partagée, pour répondre à notre problématique épidémiologiqueinitiale sur les données groupées de la cohorte Paquid.