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Dans un modèle à risques proportionnelsNous présentons ici la démonstration permettant de définir un estimateur de la matricede variance-covariance des paramètres estimés. Dans un premier temps nous présentonsune démonstration sur un modèle à risques proportionnels, non stratifié et sans effetsaléatoires. Les paramètres considérés sont donc ζ ′ = (η 1 , ..., η m ; β 1 , ..., β p ) et n représentele nombre d’individus dans l’échantillon.Afin de simplifier les notations nous nous plaçons dans le cadre d’un modèle non stratifié,d’autre part la log-vraisemblance l n (.) qui dépend de n sera écrite sous la forme l(.). Lalog-vraisemblance pénalisée s’écrit sous la forme générale suivante :pl(λ 0 (.), β) = l(λ 0 (.), β) − κ n ||λ ′′0(.)|| 2 = l(ζ) − P n (ζ)où P n (ζ) est le terme de pénalisation, qui peut dépendre de n par l’intermédiaire du paramètrede lissage κ n .Nous supposons que lorsque n augmente, l(ζ) = O p (n) il en est de même pour pl(ζ) =O p (n), ∂pl(ζ)∂ζ= O p (n) et ∂2 pl(ζ)∂ζ 2 = O p (n). Sous certaines conditions de régularités [25],l’estimateur ˆζ est consistant pour ζ (c’est à dire ˆζ = ζ + o p (1)) et on peut effectuer undéveloppement limité d’ordre 1 de la fonction de score autour de ζ :∂pl(ˆζ)∂ζ= ∂pl(ζ)∂ζ+ ∂2 pl(ζ)∂ζ 2 (ˆζ − ζ) + o p ( √ n) (3.6)Les estimateurs du maximum de vraisemblance pénalisée sont définis par : ∂pl(ˆζ)∂ζl’équation (3.6) est équivalente à := 0, donc( ) ∂ 2 −1pl(ζ) ∂pl(ζ)(ˆζ − ζ) = −+ o∂ζ 2p ( √ n/n)∂ζ⇐⇒⇐⇒(√ n(ˆζ − ζ) = − 1 )∂ 2 −1 ( )pl(ζ) 1 ∂pl(ζ) √n + on ∂ζ 2 p (1)∂ζ(√ n(ˆζ − ζ) ≃ − 1 )∂ 2 −1 ( )pl(ζ) 1 ∂pl(ζ) √nn ∂ζ 2 ∂ζ1 ∂ 2n∑On peut réécrire − 1 pl(ζ) par − 1 nn ∂ζ 2 n ∂ζ 2 i=1 l ∑i(ζ) + 1 Pn ∂ζ 2 n (ζ) = − 1 n ∂n i=1U ∂ζ i(ζ) +∂ 2∂ζ 2 P n (ζ) où les scores U i∂ 2∂ 2= ∂l i(ζ) sont des variables aléatoires indépendantes. Sous∂ζ