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Nous présentons la méthode d’estimation semi-paramétrique sur des modèles stratifiésà fragilité partagée :λ ihj (t, X ihj |Z i ) = Z i λ 0h (t) exp(β ′ X ihj )Le temps de survie Y ihj pour un sujet j de la strate h et du groupe i peut être censuréà droite (δ ihj =indicateur de censure) et tronqué à gauche (L ihj =le temps de troncaturegauche). Nous supposerons dans ce modèle que conditionnellement à la variableZ iet aux variables explicatives, la censure est indépendante et non-informative pourZ ′ = (Z 1 , ..., Z G ). De plus on suppose une indépendance des temps de survie dans chaquegroupe conditionnellement aux effets aléatoires Z i .Initialement nous supposons que la fonction de risque à estimer a une certaine régularité.Un moyen d’utiliser cette connaissance a priori est de pénaliser la vraisemblance par unterme qui prendra des valeurs élevées lorsque la fonction à estimer est peu lisse. Ainsi,il est naturel d’introduire dans le terme de pénalisation la dérivée seconde de la fonctionde risque qui reflète les changements de pente de la fonction de risque. Pour obtenir cetestimateur lisse nous utilisons la log-vraisemblance pénalisée suivante :pl(λ 0h (.), β, θ) = l(λ 0h (.), β, θ) −K∑∫ ∞κ hh=10λ ′′0h(u) 2 du (3.1)où, l(λ 0h (.), β, θ) est la log-vraisemblance obtenue par l’équation (2.14) du paragraphe(2.3.4), κ h est le paramètre de lissage positif pour la strate h et ∫ λ ′′0h (u)2 du = ||λ ′′0h (.)||2le carré de la norme L 2 de la dérivée seconde de la fonction de risque de base pour la strateh. La fonction de risque de base λ 0h (.) doit appartenir à la classe des fonctions continues,deux fois différentiables et dont la dérivée seconde est de carré intégrable. En pratique ilsuffit de calculer ∫ max(T ihj )0λ ′′0h (u)2 du car la solution de (3.1) satisfait λ ′′0h (u)2 = 0 lorsqueu ≥ max(T ihj ).Cette expression représente, pour un paramètre de lissage donné, un compromis entreun ajustement sur les données, représentée par l(λ 0h (.), β, θ) et une contrainte de régularité,représentée par le carré de la norme de la dérivée seconde de la fonction de risque de base.La log-vraisemblance impose à l’estimateur de refléter les données, alors que le terme depénalisation cherche à réduire les variations importantes de la fonction de risque λ ; leparamètre de lissage κ h doit permettre d’établir un équilibre entre ces deux objectifs.Ainsi, une fonction de risque λ 0 (t) peu lisse aura des changements de pente importants et