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On travaille sur :(√G(ˆζ − ζ) ≃ − 1 )∂ 2 −1 ( )pl(ζ) 1 ∂pl(ζ)√G ∂ζ 2 G ∂ζ∑De même on peut appliquer la loi faible des grands nombres sur − 1 GG ∂ζ 2 i=1 l i(ζ) =− 1 G∑ Gi=1∂U ∂ζ i(ζ) ou les U i pour i = 1, ..., G (les fonctions de score de la log-vraisemblance)sont des variables aléatoires indépendantes.Puis on applique le théorème de la limite centrale sur1 √G∂∂ζ l(ζ) = 1 √G∂∂ζ∑ Gi=1 l i(ζ) =1 √G∑ Gi=1 U i(ζ). En particulier, si on note σ 2 iσG2G→∞ BG2les variances des U i (ζ) et B 2 G = ∑ Gi=1 σ2 i , lesconditions du théorème sont lim = 0 et lim B G = +∞ . Les conditions d’applicationG→∞de ce théorème reviennent à imposer des tailles de groupes peu différentes les unes parrapport aux autres. Nous obtenons de même deux estimateurs de la matrice de variancecovariancedes paramètres :∂ 2̂var 1 (ˆζ) = Ĥ−1 G (ˆζ)ÎG(ˆζ)Ĥ−1 G (ˆζ) = ˆV 1 (ˆζ)ou,̂var 2 (ˆζ) = Ĥ−1 G (ˆζ)ĴG(ˆζ)Ĥ−1 G (ˆζ) = ˆV 2 (ˆζ)3.5 Estimateurs sans biaisDans un modèle à risques proportionnelsest :Un estimateur asymptotiquement sans biais du vecteur des paramètres ζ ′ = (η 1 , ..., η m ; β 1 , ..., β p )∨ζ = ˆζ + H −1n( ) ∂Pn (ζ)(ζ)∂ζDès le début de la démonstration, l’estimateur était supposé consistant,donc, ˆζ = ζ + o p (1)or, on a montré que E(ˆζ) = ζ + Hn−1 (ζ))donc, Hn−1 (ζ) = o p (1)⇐⇒(∂Pn(ζ)∂ζ( )∂Pn(ζ)∂ζ(I n (ζ) + 2κ n Ω) −1 (2κ n ζ ′ Ω) = o p (1) d’après l’écriture (3.3) du terme de pénalisation.Si H n est en O p (n) alorsκ n = o p (n)