Wahana

140
Jadi, persamaan gari singgung l yang melaui titik Ax ( 0, y 0)
pada lingkaran
adalah
x0−a y− y0 = − ( x−x0) ⇔ ( y0 −b)( y− y0) + ( x0 −a)( x− x0)
= 0
y − b
0
2 2 2
Karena titik Ax ( 0, y 0)
terletak pada lingkaran, maka ( x0 − a) Akibatnya persamaan terakhir dapat kita tuliskan sebagai:
+ ( y0 − b) = r .
( y −b) ( y−b) −( y − b) + ( x −a) ( x−a) −( x − a)
= 0
⇔
⇔
{ } { }
0 0 0 0
y0 b y b y0 2
b x0 a x a x0 2
a
2 2
( y0 −b)( y− b) + ( x0 −a)( x− a) = ( x0 − a) + ( y0 −b)
2
( x0 −a)( x− a) + ( y0 −b)( y− b) = r
( − )( − ) −( − ) + ( − )( − ) −( − ) = 0
⇔
Jadi, persamaan garis singgung l yang melalui titik Ax ( 0, y 0)
pada lingkaran
adalah
( x −a)( x− a) + ( y −b)( y− b) = r
0 0
Akibat 4.1
Jika titik
2 2 Ax ( 0, y 0)
terletak pada lingkaran x + y
2
= r , maka
persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik A mempunyai
persamaan
xx+ yy= r
0 0
Bukti:
Ini kejadian khusus Teorema 4.1 untuk a = 0 dan b = 0.
Teorema 4.2
Jika garis l dengan gradien m menyinggung lingkaran
2 2 2
( x− a) + ( y− b) = r , maka l mempunyai persamaan
y− b = m( x− a) ± r 1+
m
Bukti:
Misalkan persamaan garis l adalah y = mx+ c.
Akan kita tentukan nilai c.
Subtitusi ke dalam persamaan lingkaran memberikan persamaan kuadrat
dalam x (mengapa?),
2 2 2 2
(1 + mx ) − 2{ a+ ( b− cmx ) } + a + ( b−c) − r = 0
Diskriminan persamaan kuadrat adalah
2 2 2
D = (1 + m ) r −( b−am−c) Karena garis l menyinggung lingkaran, maka secara aljabar D = 0,
2 2 2
(1 + m ) r −( b−am− c)
= 0
2
2 2 2
⇔ (1 + m ) r −( b−am− c)
= 0
2
⇔ ( b−am− c) 2 2
= (1 + m ) r
⇔ c = b− am± r 1+
m
2
2
2
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
W