Wahana

282
Bukti:
Di sini kita akan membuktikan teorema yang pertama saja, yang kedua silahkan
kalian buktikan sendiri sebagai latihan. Dengan kesamaan trigonometri yang
pertama di atas,
f( x+ h) − f( x)
=
h
sin( ) sin x+ h − x
h
1 1
2cos( x+ h)sin h
2 2
=
h
Dengan demikian,
f( x+ h) − f( x)
f '( x)
= lim
h→0
h
1
1 2
2 1
2
sin h
= lim cos( x+ h)
⋅
h→0
h
= cos( x + 0) ⋅1
= cos x
=
1 1
2 2
1
h 2
1
1 sin 2
2 1
2
cos( x+ h) sin h
= cos( x+ h)
⋅
Dengan menggunakan hasil pada Teorema 8.9 dan turunan hasil bagi dua fungsi, kita
peroleh teorema berikut.
Teorema 8.10
1.
2
Jika f (x) = tan x, maka f '( x) = sec x
2.
2
Jika f (x) = cot x, maka f '( x) =−csc
x
3. Jika f (x) = sec x, maka f '( x) = sec xtanx 4. Jika f (x) = csc x, maka f '( x) =−csc
xcotx Contoh 8.3.1
Tentukan f '( x) dari fungsi-fungsi berikut.
a. f(x) = 3cos x – sin x + 5 c. f(x) = 5 sinx cos x
b. f(x) = x3 sin x
Penyelesaian:
a. f '( x ) = 3.(–sin x) – cos x + 0 = –3sin x – cos x
b. Dengan aturan turunan perkalian dua fungsi,
f '( x ) = 3x2 sin x + x3 cos x
c. Dengan aturan turunan perkalian dua fungsi
f '( x ) = 5cos x cos x + 5 sin x (–sin x) = 5( cos2 x – sin2 x) = 5cos2x
h
h
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
W
W