Wahana

7.1 Pengertian Limit
Konsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari kalkulus, meskipun kalkulus
sendiri telah dikenalkan oleh Sir Isaac Newton dan Gottried Wilhelm Leibniz pada
pertengahan abad ke-17, sedangkan konsep limit fungsi baru dikenalkan oleh Agustin
Louis Cauchy pada abad ke-18.
Konsep limit fungsi di suatu titik yang akan kita pelajari adalah melalui pendekatan
intuitif, yaitu dimulai dengan menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik tersebut,
terkecuali di titik itu sendiri. Sebagai contoh kita perhatikan fungsi f yang diberikan
oleh
2
−1
x
f( x)
=
x −1
Periksa bahwa daerah asal dari f adalah semua bilangan real x kecuali x = 1,
karena f (1) tidak ada. Kita akan menyelidiki nilai fungsi f apabila x mendekati 1 tetapi
tidak sama dengan 1. Misalkan x mengambil nilai 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999
dan seterusnya. Dalam hal ini kita mengambil nilai x yang semakin dekat 1 tetapi lebih
kecil 1. Nilai-nilai fungsi f untuk harga-harga ini diberikan Tabel 7.1. Kemudian,
misalkan x mendekati 1 sepanjang nilai yang lebih besar 1 , yaitu x mengambil nilai 2;
1,75; 1,5; 1,25; 1,1; 1,01; 1,001; 1,0001; 1,00001, dan seterusnya. Lihat Tabel 7.2.
x
0
0,25
0,5
0,75
0,9
0,99
0,999
0,9999
Tabel 7.1 Tabel 7.2
2 x − 1
f( x)
=
x − 1
1
1,25
1,5
1,75
1,9
1,99
1,999
1,9999
Dari kedua tabel di atas, kita periksa bahwa jika x bergerak semakin dekat ke 1 baik
dari arah kiri maupun dari arah kanan, maka f(x) bergerak semakin dekat ke 2. Sebagai
contoh, dari Tabel 7.1, jika x = 0,999, maka f(x) = 1,999. Yaitu jika x lebih kecil 0,001 dari
1, maka f(x) lebih kecil 0,001 dari 2.
Dari Tabel 7.2, jika x = 1,001, maka f(x) = 2,001. yaitu, jika x lebih besar 0,01 dari 1,
maka f(x) lebih besar 0,001 dari 2.
Situasi di atas mengatakan bahwa kita dapat membuat nilai f (x) mendekati 2
asalkan kita tempatkan x cukup dekat dengan 1, meskipun nilainya f (1) tidak ada.
Situasi semacam ini secara matematika kita tuliskan dengan
lim f( x)
= 2
x→1
Perlu dicatat di sini bahwa nilai 2 ≠ f (1) , karena f tidak terdefinisi di x = 1. Secara
grafik situasi ini dapat digambarkan bahwa ketika x = 1, grafiknya terputus (berlubang).
BAB VII ~ Limit Fungsi 229
x
2
1,75
1,5
1,25
1,1
1,01
1,001
1,0001
2 x − 1
f( x)
=
x − 1
3
2,75
2,5
2,25
2,1
2,01
2,001
2,0001