Wahana

Metode untuk menghitung limit jenis ini berkaitan erat matematikawan Perancis
Marquis Guillame Francois L’Hospital (1661 – 1704) pengarang pertama buku kalkulus,
yang berjudul L’Analyse des infiniment petits, dipublikasikan pada 1696. Metodenya
dikenal dengan Aturan L’Hospital. Aturan L’Hospital ini sengaja diberikan tanpa bukti
karena buktinya di luar jangkauan buku ini.
Teorema 8.12 (Aturan L’Hopital)
Misalkan f dan g fungsi yang mempunyai turunan pada interval terbuka I,
kecuali mungkin di c sendiri, dengan g'( x) ≠ 0 untuk setiap x ≠ c pada I. Jika
f '( x)
lim f( x) = lim g(
x)
= 0 dan lim = L , maka
x→c x→c x→c g'( x)
f( x)
lim = L
x→c gx ( )
Teorema ini juga berlaku jika semua limitnya adalah limit kiri atau limit kanan.
Jika kita terapkan Aturan L’Hopital terhadap dua contoh di atas, maka
2
x − 9 2x
sin x cos x
lim = lim = 6 dan lim = lim = 1
x→3 x − 3 x→3
1
x → 0 x x → 0 1
Contoh 8.6.1
Hitung limit yang diberikan berikut (jika ada).
a.
tan x−x lim
x→0
x−sin x
b.
2
1−cos x
lim
x→0
x
Penyelesaian:
a. Kita terapkan Aturan L’Hopital dua kali,
tan x−x sec x−1
lim = lim
x→0 x−sin x x→0
1−cos x
2tanxsec x
= lim
x→0
sin x
2
2
lim = 2
=
x→0 3
cos x
b. Langsung dari aturan L’Hopital,
c.
2
2
1−cos lim
x→0
x
2x −3x 4x−3 3
lim = lim =−
x→0 sin 2x x→02cos
2x 2
2
sin x
( tan x = )
cos x
x
BAB VIII ~ Turunan 295
c.
2
−
lim
x→0
sin 2
2sinxcosx = lim = 0
x→0
1
2x 3x
x
W