Skólaskýrsla 2004 - Verzlunarskóli Íslands

ln( x )
7. (10%) Svæðið M afmarkast af ferli f ( x ) = , x­ás og línunni
x
a) Finnið flatarmál svæðisins
2
x = e .
b) Finnið rúmmál snúðsins sem kemur fram þegar svæðinu M er snúið einn hring
um x­ásinn.
2
8. (5%) Leysið diffurjöfnuna y ¢ = y × sin( x ) og finnið síðan sérlausnina sem gengur í
0 , 2 .
gegnum punktinn ( )
2 x
9. (5%) Fallið
f ( x ) = e × ( ax + b )
Finnið a og b.
( ) 2
hefur staðbundið útgildi í punktinum
1,
e
10. (5%) Einu aðfellur fallsins f (x)
eru x = 1 og y = x + 1 . Ferill fallsins gengur í gegnum
3 , 7 . Finnið fall f (x)
sem uppfyllir framangreind skilyrði.
punktinn ( )
11. (5%) Finnið fullnaðarlausn á diffurjöfnunni y ¢
- y ¢ - 2 y = 3 x
12. (5%) Velja á 10 menn í hóp en alls 15 manns koma til greina. Ef annað hvort Jón eða
Gunnar er valinn þá má ekki velja hinn. Á hve marga vegu er hægt að velja í
hópinn?
13. (5%) Finnið jöfnu sléttu sem inniheldur punktana ( 1 , 2 , 0 ),
( 3 , 0 ,-
1 ) og ( 0 , 2 ,-
1 ).
.
14. (5%) Sannið með þrepun : Ef fylkið
æ 1
A =
ç
è 0
1 ö
÷
1 ø
þá er
A æ 1 n ö
n =
ç
÷
è 0 1 ø fyrir n ³ 2 .
(An táknar A í veldinu n)
15. (10%) Grunnflötur strýtu er þríhyrningurinn ABC. Topppunkturinn er D. Sléttan sem
inniheldur grunnflötinn hefur jöfnuna 2 x - y + 2 z - 4 = 0 . Einnig er vitað að
hornpunkturinn A = ( 3 ,-
2 ,-
2 ) og línan sem inniheldur kantinn AD hefur
x , y , z = 3 ,-
2 ,-
2 + t × 2 ,-
1 , 5 . Hæð strýtunnar er 6.
stikunina ( ) ( ) ( )
(Ath. strýtan er ekki regluleg.)
a) Finnið hornið á milli kantsins AD og grunnflatar.
b) Finnið hnit topppunkts strýtunnar þ.e. finnið punktinn D.
Stærðfræði, 6. bekkur tölvu­ og upplýsingatæknideild
1. 5%) Diffrið fallið og einfaldið eins og unnt er, ef f ( x ) = ln( x ) × ( 3 x + 1 ) 5
2. 5%) Gefið er fallið
2
f ( x ) = ax - 3 x
.
Hallatala fallsins er 5 í x = 1 . Finnið a .
241