Diplomarbeit (*.pdf - 5,3MB) - Faculty of Computer Science ...

3.3.5.2 Berechnung der OBB-Parameter
Soll ein beliebiges Objekt durch eine OBB umhüllt werden, so müssen deren
optimale Parameter (Mittelpunkt, Orientierung und Ausdehnung) bestimmt
werden. Besonders problematisch ist hierbei, die Orientierung der Box zu
berechnen. Ist diese bekannt, so lassen sich die übrigen Parameter einfach
bestimmen, was im folgenden gezeigt werden soll:
Unter der Annahme, dass die Orientierung der Box bereits berechnet ist, lassen
sich die Ausdehnungen entlang der Flächennormalen v1, v2 und v3
folgendermaßen bestimmen:
u1 = max k ( v1
⋅ pk
)
u = ( v ⋅ p )
2 max k 2 k
3 = max k ( v3
pk
u ⋅
l1 = min k ( v1
⋅ pk
)
l = ( v ⋅ p )
2 min k 2 k
3 = min k ( v3
pk
l ⋅
)
Die Punkte pk entsprechen dabei den Vertices der zu umhüllenden Geometrie.
Die Ausdehnung entlang einer Achse vi berechnet sich aus der Differenz ui - li.
Der Mittelpunkt c wird anschließend bestimmt:
1
1 1
c = ( l1
+ u1)
v1
+ ( l2
+ u2
) + ( l3
+ u3
) v3
2
2 2
Nun gilt es zu klären, wie die Orientierung der OBB berechnet werden kann.
Ziel ist es, die OBB nach dem zu umhüllenden Objekt auszurichten. Ist dieses
beispielsweise lang und dünn, wie z.B. ein Stift, so sollte eine Achse der
berechneten Box nach dessen längster Seite ausgerichtet sein. Ist das Objekt
hingegen besonders dünn entlang einer Richtung, wie dies beispielsweise bei
einem Blech der Fall ist, so sollte eine Achse der OBB möglichst an dessen
Normale ausgerichtet sein. Dies wird nach [Gottschalk00] erreicht, indem die
statistische Verteilung der Geometrie des zu umhüllenden Objekts untersucht
wird, was im folgenden näher erläutert werden soll.
3.3.5.3 Kovarianzbasierte Methoden
Die Form und Gestalt einer Puntkwolke lässt sich approximativ mit einer
Kovarianzmatrix C und ihrem Mittelpunkt m beschreiben. Für Punkte im n-
dimensionalen Raum ergeben sich entsprechend eine reelle, symmetrische
nxn–Matrix und ein n-dimensionaler Vektor. Diese Größen beschreiben die
Punktmenge genau auf die gleiche Art und Weise, wie eine Gaußkurve die
Verteilung einer Menge von Punkten auf einer reellen Achse beschreibt. Die
Kovarianzmatrix und der Mittelpunkt sind lediglich Verallgemeinerungen auf
höhere Dimensionen der üblichen Glockenkurve.
)
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