Diplomarbeit (*.pdf - 5,3MB) - Faculty of Computer Science ...

Für die Identifikation der OBB- Parameter müssen abschließend die
Eigenvektoren der Kovarianzmatrix berechnet werden. Dies soll im folgenden
Abschnitt erläutert werden.
3.3.5.4 Bestimmung der Eigenvektoren
Die Berechnung der Eigenvektoren erfordert zunächst die Bestimmung der
Eigenwerte. Diese lassen sich durch die Lösung der folgenden Gleichung
bestimmen, wobei det(M) die Determinante einer nxn-Matrix M und E die nxn-
Einheitsmatrix bezeichnet:
det( A − λ E)
= 0 .
Die Auflösung der Determinante liefert ein Polynom n-ten Grades. Da dessen
Auflösung sehr ineffizient ist, werden die Eigenvektoren großer Matrizen in
der Regel durch spezielle numerische Verfahren bestimmt. Eines dieser
Standardverfahren ist die QR- Zerlegung.
QR- Zerlegung
Es gibt wiederum drei Verfahren, mit denen sich eine QR- Zerlegung
berechnen lässt:
1) Das Verfahren von Gram-Schmidt, das auf dem Verfahren beruht, aus n
linear unabhängigen Vektoren n orthonormale Vektoren zu machen.
Diese Verfahren ist numerisch instabil, wenn man keine Modifikation
vornimmt.
2) Das Householder-Verfahren, das man sich über Spiegelungen an
Hyperflächen veranschaulichen könnte.
3) Das Givens-Verfahren, das mit Rotation von Vektoren in einem
Koordinatensystem begründet werden kann. Im Vergleich zum
Householder Verfahren ist der Aufwand des Givens- Verfahrens
größer, weil nicht spaltenweise sondern elementweise Nullen erzeugt
werden.
Aus den beschriebenen Eigenschaften geht hervor, dass zur Berechnung der
QR- Zerlegung die Verwendung des Householder Verfahrens anzustreben ist.
Eine detaillierte Beschreibung des Householder- Verfahrens soll an dieser
Stelle ausgelassen werden, da es sich hierbei um ein Standardverfahren der
Numerik handelt.
Die Eigenwerte berechnen sich anschließend nach folgendem Algorithmus:
Iteriere bis zur Konvergenz:
Berechne QR- Zerlegung A = Q ⋅ R
T
Setze A = R ⋅Q
(Ähnlichkeitstransformation A → Q ⋅ A ⋅Q
)
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