Diplomarbeit (*.pdf - 5,3MB) - Faculty of Computer Science ...

[Gottschalk00] zeigt nun, dass sich durch Unterscheidung dieser drei Fälle, die
Berechnung in einem ersten Schritt vereinfachen lässt. Es ergeben sich
folgende vereinfachte Gleichungen für den Schnitttest:
Fall 1:
Bsp.: i=2,
A B A
B A
B A
B A
( − T ) ⋅ R > a + b R ⋅ R + b R ⋅ R + b R ⋅ R )
T 2
Fall 2:
Bsp.: i=2
Fall 3:
A
n R2
= :
B
n = R2
2
( 1 1 2 2 2 2 3 3 2
A B B
A B
A B
A B
( T − T ) ⋅ R2
> ( a1
R1
⋅ R2
+ a 2 R2
⋅ R2
+ a3
R3
⋅ R2
) + b2
Bsp.:
A B
n R1
R2
× =
A B ( R × R ) >
A B
( T − T ) ⋅ 1 2
B A
B A
A B
A
( a 2 R2
⋅ R3
+ a3
R2
⋅ R2
) + ( b1
R1
⋅ R3
+ b´
3 R1
⋅ R1
Weiterhin kann die Berechnung optimiert werden, indem das gemeinsame
Koordinatensystem so gewählt wird, dass sich die Box A im Koordinatenursprung
befindet und deren Orientierungen den Koordinatenachsen
entsprechen.
Optimierung: Wahl des Koordinatensystems
Dazu muss die Box B in das Koordinatensystem der Box A transformiert
werden. Interpretiert man R A als Rotationsmatrix, so ergibt sich deren Inverse
A −1
A T
durch ( R ) = ( R ) . In Box B ersetzt man nun R B A T B B
durch ( R ) R und T
A T B
durch ( R ) ( T
A
− T ) . Somit befindet sich Box B in dem durch Box A
definierten Koordinatensystem. Die Berechnungen für die Beispiele
vereinfachen sich wie folgt:
Fall 1:
T > a +
+
B
2
2
B
B
B
( b1
R12
+ b2
R22
b3
R32
)
B
)
.
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