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Für die Identifikation der OBB- Parameter müssen abschließend die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix berechnet werden. Dies soll im folgenden Abschnitt erläutert werden. 3.3.5.4 Bestimmung der Eigenvektoren Die Berechnung der Eigenvektoren erfordert zunächst die Bestimmung der Eigenwerte. Diese lassen sich durch die Lösung der folgenden Gleichung bestimmen, wobei det(M) die Determinante einer nxn-Matrix M und E die nxn- Einheitsmatrix bezeichnet: det( A − λ E) = 0 . Die Auflösung der Determinante liefert ein Polynom n-ten Grades. Da dessen Auflösung sehr ineffizient ist, werden die Eigenvektoren großer Matrizen in der Regel durch spezielle numerische Verfahren bestimmt. Eines dieser Standardverfahren ist die QR- Zerlegung. QR- Zerlegung Es gibt wiederum drei Verfahren, mit denen sich eine QR- Zerlegung berechnen lässt: 1) Das Verfahren von Gram-Schmidt, das auf dem Verfahren beruht, aus n linear unabhängigen Vektoren n orthonormale Vektoren zu machen. Diese Verfahren ist numerisch instabil, wenn man keine Modifikation vornimmt. 2) Das Householder-Verfahren, das man sich über Spiegelungen an Hyperflächen veranschaulichen könnte. 3) Das Givens-Verfahren, das mit Rotation von Vektoren in einem Koordinatensystem begründet werden kann. Im Vergleich zum Householder Verfahren ist der Aufwand des Givens- Verfahrens größer, weil nicht spaltenweise sondern elementweise Nullen erzeugt werden. Aus den beschriebenen Eigenschaften geht hervor, dass zur Berechnung der QR- Zerlegung die Verwendung des Householder Verfahrens anzustreben ist. Eine detaillierte Beschreibung des Householder- Verfahrens soll an dieser Stelle ausgelassen werden, da es sich hierbei um ein Standardverfahren der Numerik handelt. Die Eigenwerte berechnen sich anschließend nach folgendem Algorithmus: Iteriere bis zur Konvergenz: Berechne QR- Zerlegung A = Q ⋅ R T Setze A = R ⋅Q (Ähnlichkeitstransformation A → Q ⋅ A ⋅Q ) 58
Das Verfahren konvergiert zu einer Matrix in oberer Dreiecksform, deren Hauptdiagonale die Eigenwerte enthält. Berechnung der Eigenvektoren Aus den Eigenwerten lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung: ( A − λ E) ⋅ x = 0 bestimmen. Es muss somit lediglich ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen gelöst werden. Nachdem nun alle Parameter der OBBs bestimmt sind, soll im folgenden soll geklärt werden, wie der Überlappungstest zwischen OBBs möglichst effizient durchgeführt werden kann. 59
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geschaffen werden musste, mit dem n
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Quellen [Balzert] H.Balzert: Lehrbu
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[Redon00] S.Redon, A.Kheddar und S.
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