Aufbau einer gepulsten Quelle polarisierter Elektronen - Institut für ...

2.1 Die Erzeugung des polarisierten Elektronenensembles 15
Die Kugelfunktionen Y lm stellen die auf die Einheitskugel normierte Winkelverteilung
eines Multipols der Ordnung l dar. Für l = 1 (p-Elektron) erhält man drei
linear unabhängige Eigenfunktionen, die den Potentialen eines entlang der x-, y-
bzw. z-Achse ausgerichteten Dipols entsprechen (s. Abb. 2.2). Die Dipole sind
gleichberechtigt und in der Energie entartet. Bei der Einbettung in einen Kristall
mit kubischer Symmetrie orientieren sich die Dipole entlang der Symmetrieachsen
des Kristallfelds. Wegen der völligen Gleichwertigkeit der drei Achsen gibt es
keine „bevorzugte” Einstellung für ein p-Elektron. Infolgedessen bleibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
des Elektrons in erster Näherung kugelsymmetrisch um
den Kern verteilt und die p x , p y , p z sind weiterhin ein „guter” Satz von Basisfunktionen.
Multipole höherer Ordnung besitzen eine „höhere Winkelempfindlichkeit”
und entarten bei Einbettung in das kubische Gitter.
2.1.2 Berücksichtigung des Spins
In der bisherigen Betrachtung wurde der Spin des Elektrons nicht berücksichtigt.
Seine Einführung ändert an den grundlegenden Überlegungen nichts. Ein Unterschied
ergibt sich allerdings dadurch, daß nun die Wellenfunktionen erst bei Drehungen
um 4π wieder in sich selbst übergehen. Diesem Umstand wird dadurch
Rechnung getragen, daß man so tut, als ginge auch der Kristall erst bei Drehungen
um 4π wieder in sich selbst über. Dann definiert man ein neues Gruppenelement R,
die Drehung um 2π, und ergänzt die Drehgruppe um die Elemente, die aus der Multiplikation
mit R aus ihnen entstehen [24]. Die erweiterte Gruppe (Doppelgruppe)
umfaßt nun mehr, aber nicht doppelt soviele Klassen, als die einfache Gruppe. Jedes
Element der einfachen Gruppe wird nun durch zwei Matrizen dargestellt (Drehung
um φ und Drehung um 2π +φ). Die Drehgruppe wird um die drei Darstellungen Γ 6 ,
Γ 7 und Γ 8 erweitert.
Die Leitungsbandunterkante wird durch Γ 6 beschrieben (s. Abbildung 2.3). Als Basisfunktion
kann die Wellenfunktion eines s 1=2 Zustands dienen. Die Valenzbandoberkante
spaltet, ganz analog zum p-Zustand des Wasserstoffatoms in zwei Zustände
auf, wovon der energetisch niedrigere durch Γ 7 und der energetisch höhere durch
Γ 8 beschrieben wird. Für Γ 8 können die Wellenfunktionen eines p 3=2 Zustands als
Basisfunktionen verwendet werden.
2.1.3 Die Berechnung der Polarisation
Sobald man die Kugelflächenfunktionen Y lm als Wellenfunktionen verwenden
kann, gestaltet sich die Berechnung von Matrixelementen einfach. Das Wigner-
Eckart-Theorem erlaubt es, ein Übergangsmatrixelement als Produkt eines Clebsch-
Gordan-Koeffizienten und eines “reduzierten Matrixelements” zu schreiben. Der