Bahnplanungsframework für ein autonomes Fahrzeug - oops ...

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6 Grundlagen φ b C A φ C Ω C A t r (a) Die Achsschenkel, sind so ausgerichtet, dass deren Verlängerungen sich an der hinteren Achse treffen. (b) Das Fahrzeug mit Lenkwinkel ϕ. Jedes Rad hat dabei unterschiedliche Einschläge, deren Normalen sich im Punkt ⃗C Ω treffen, um den sich das Fahrzeug bewegt. (Abb. 2.1): Modell eines Fahrzeugs mit Achsschenkellenkung. Unter der Annahme, dass C⃗ A die Pose des Fahrzeugs ist, kann der Kurvenradius direkt berechnet werden. Wenn sich alle Normalen in einem Punkt ⃗C Ω treffen, so hat das gedachte innere Rad (blau in Abb. 2.1 (b)) den Mittelwert als Lenkeinschlag der beiden Vorderräder. Im Folgenden wird ϕ als Lenkeinschlag des gedachten mittleren Rades angenommen. Dieser Winkel wiederholt sich zwischen der Normalen des gedachten Rades und der Geraden zwischen C⃗ A und ⃗C Ω . Es entsteht zusammen mit der Mittelachse ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten der Radstand (engl. wheelbase) b und der gesuchte Kurvenradius r sind (Abb. 2.1 (b)). Dieser berechnet sich dann wie folgt: r = b tan(ϕ) (2.1) Aus dieser folgt unmittelbar der minimale Wendekreis r min , der bei maximalem Lenkeinschlag ϕ max entsteht: b r min = (2.2) tan(ϕ max ) Der Zustand A des Fahrzeugs kann nun als 4-Tupel (Quadrupel) aufgefasst werden, zu dem die Position x, y die Orientierung θ und der aktuelle Lenkeinschlag ϕ gehören. Ohne den Lenkeinschlag ist der Zustand die aktuelle Pose des Fahrzeugs. Wenn man sich bei der Berechnung der Bahn auf R 2 beschränkt, so kann man die Pose kompakt als eine affine Matrix M A ∈ R 3×3 ausdrücken, die für spätere Transformationen gebraucht wird. ⎛ cos θ − sin θ ⎞ x M A = ⎝sin θ cos θ y⎠ (2.3) 0 0 1
2.1 Ackermann Modell 7 Die Orientierung θ des Fahrzeugs ist der Winkel zwischen X-Achsen-Richtungsvektor und dem Richtungsvektor des Fahrzeugs gegen den Uhrzeigersinn. Der Lenkwinkel ϕ ist der Mittelwert beider Räder und ist auf dem Intervall [−ϕ max ; ϕ max ] definiert, wobei ϕ max der maximal mögliche Mittelwert der Einschläge der Räder ist (Abb. 2.2). Weitere Eigenschaften des Fahrzeugs sind seine Geschwindigkeit v und seine Lenkgeschwindigkeit v steer . M C Ω φ y θ x (Abb. 2.2): Zustandsquadrupel (x, y, θ, ϕ) des Ackermannmodells und die Kreisbahn M, bei sich nicht änderndem Lenkwinkel ϕ. Dieses System lässt sich mithilfe von physikalischen Differenzialgleichungen beschreiben. ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x R A = ⎢y ⎥ ⎣θ⎦ ∈ ⎢ R ⎥ ⎣ R, 0 ≤ θ < 2π ⎦ ϕ R, −ϕ max ≤ ϕ ≤ ϕ max ˙ A = ⎡ ⎤ ⎡ ẋ ⎢ ẏ ⎥ ⎣ ˙θ ⎦ = ⎢ ⎣ ˙ϕ cos(θ) sin(θ) tan(ϕ)/b 0 ⎤ ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎦ · v + ⎢0 ⎥ ⎣0⎦ · v steer 1
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