Bahnplanungsframework für ein autonomes Fahrzeug - oops ...

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MOTION PRIMITIVES
Eine Motion Primitive beschreibt eine Bahn von einer Startkonfiguration zu einer Endkonfiguration.
Es gibt zunächst unendlich viele Möglichkeiten von einer gegebenen Startkonfiguration in die
Endkonfiguration zu kommen, so dass die Motion Primitive Funktionen bietet, um die interpolierten
Konfigurationen dazwischen zu berechnen. Interessant an dieser Stelle sind nur Primitiven, deren
Bahn von einem Fahrzeug mit all seinen kinematischen Einschränkungen befahrbar ist. Start- und
Endkonfigurationen liegen dabei als affine Transformationsmatrizen vor. Für eine einfache Berechenbarkeit
der Bahn wird die Einheitsmatrix als Starttransformation verwendet (Pose im Ursprung mit
Orientierung θ = 0).
Sei die Motion Primitive folgendermaßen definiert:
M = { ⃗ S M , ⃗ G M , F M (t)| ⃗ S M , ⃗ G M ∈ R 3 , t ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1}
Dabei bezeichnet F M (t) eine Funktion, die zu einem Wert t im Intervall [0, 1] die interpolierte
Konfiguration von Start- zur Endkonfiguration liefert. Diese Funktion ist nur für die Regelung oder
die Visualisation der Bahn interessant. Der Wert S⃗
M steht für die Startkonfiguration und G⃗
M für die
Endkonfiguration (engl. goal), die als Parameter die Position x, y und die Orientierung θ haben. Nach
(Eq. 2.3) können daraus die affinen Transformationsmatrizen M SM und M GM berechnet werden. Sei
weiterhin M A,i die aktuelle Transformation des Fahrzeugs, so berechnet sich die Endtransformation
M A,i+1 , nach Durchfahren der Motion Primitive, unter der Voraussetzung, dass die Starttransformation
M SM die Einheitsmatrix ist, wie folgt:
M A,i+1 = M GM · M A,i
So entspricht die gesamte Endkonfiguration nach mehreren Motion Primitiven dem Produkt aller
Endtransformationsmatrizen. Da Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss darauf geachtet
werden, dass die Bahnsegmente jeweils nacheinander von links multipliziert werden.
4.1 GERADE
Die Gerade ist die einfachste Primitive. Unter der Voraussetzung, dass die Starttransformation die
Einheitsmatrix ist, so wird diese komplett über den x-Wert der Endkonfiguration bestimmt und hat
eine Länge von |x|. Im Normalfall hat die Gerade als Orientierung θ = 0, denn sollte θ einen anderen
Wert annehmen, entsteht bei der Multiplikation der Folgeprimitive ein Knick in der Bahn, der von
einem Fahrzeug mit Achsschenkellenkung kinematisch gar nicht befahren werden kann, wäre aber
ideal und leicht zu berechnen für Fahrzeuge, die auf der Stelle wenden können (Abb. 4.1).