Bahnplanungsframework für ein autonomes Fahrzeug - oops ...

2.3 Kollisionserkennung 15
Berechnung des Schwerpunktes:
A = 1 n−1
2 ·
∑
[⃗P i × P⃗
i+1 ]
i=0
⃗C P = 1 n−1
6 · A ·
∑
(⃗P i +
i=0
P⃗
i+1 ) · [⃗P i × P⃗
i+1 ]
Berechnung des Radius:
r P =
max |( ⃗P i − ⃗C P )|
i=0,...,n−1
Da die Berechnung der Bounding Sphere für alle Polygone nur ein mal offline vor der Berechnung
der Bahn erfolgt, wurde hier der Ansatz gewählt den Schwerpunkt genauer zu berechnen, als mit
dem naiven Ansatz über die Summe aller Punkte, dividiert durch die Anzahl derer. Der Grund dafür
ist, dass der Schwerpunkt beim naiven Ansatz in Richtung dichter Punktmengen verschoben wird,
wodurch der Radius der Bounding Sphere unnötig anwächst und viele Kollisionen im Bereich nicht
vorhandener Polygone verursacht und dadurch weitere zeitraubende Schnittest notwendig werden
(Abb. 2.11).
P
C
P
r
C
r
(a) Naiver Ansatz
(b) Gewichteter Ansatz
(Abb. 2.11): Vergleich der Bounding Spheres vom naiven Ansatz und dem gewichteten Ansatz.
Sei eine Motion Primitive (engl. Bahnsegment) folgendermassen definiert:
M = { ⃗ S M , ⃗ G M | ⃗ S M , ⃗ G M ∈ R 3 }
Dabei steht S⃗
M für die Startpose und G⃗
M für die Endpose (engl. goal). Die dritte Komponente des
Tupels in der Start- und Endpose wird für die Berechnung der Bounding Sphere nicht benötigt. Für
eine genaue Definition und Beschreibung der Motion Primitiven siehe Kapitel 4. Ähnlich wie bei
einem Polygon soll auch hier ein Kreis gefunden werden, der möglichst klein ist und die gesamte
Bahn einschliesst (Abb. 2.12).