Bahnplanungsframework für ein autonomes Fahrzeug - oops ...

54 Suchalgorithmen
In diesem Fall wäre n die Tiefe des Erreichbarkeitsbaumes und q die Anzahl der Nachfolger. Da
diese aber mit 1 beginnt und der Rest mit dem Beispiel übereinstimmt, muss die 1 wieder subtrahiert
werden, um auf die Formel für die Anzahl Knoten in einem Erreichbarkeitsbaum zu kommen.
Unter einer Annahme, dass die Motion Primitiven eine Länge von 1 Meter haben (meistens sogar
noch kürzer), kann man bei einem Erreichbarkeitsbaum der Tiefe 15, gerade einmal maximal 15
Meter radial vom Startpunkt aus entfernt sein. Berechnet man die Ressourcen, die für so einen Baum
mit 5 Nachfolgeelementen benötigt werden:
S 15 = −1 +
15∑
i=0
5 i = 516 − 1
5 − 1 − 1 = 38.146.972.655
Unter der Annahme, dass die Motion Primitiven mindestens die Start- und die Endkonfiguration
besitzen, die aus je 3 Werten bestehen à 4 Byte, so hat jede Primitive im Speicher mindestens
24 Byte. Das bedeutet, dass diese Primitiven 38.146.972.655 · 24Byte = 915.527.343.720Byte ≈
852, 65GByte Arbeitsspeicher in Anspruch nehmen. Selbst unter den heutigen Bedingungen, wo 8
GByte Arbeitsspeicher fast Standard ist, sprengt diese simple Rechnung den Rahmen, ganz zu schweigen
von der Kalkulationszeit für so viele Elemente.
In diesem Kapitel werden verschiedene Suchalgorithmen vorgestellt und deren Parametriesierbarkeit,
um das genannte Problem zu minimieren.
6.1 A*
A* ist eine heuristische Suche, die darauf arbeitet, dass sowohl die Start- als auch die Endkonfiguration
bekannt sind und die Güte von Zwischenkonfigurationen heuristisch geschätzt und in Relation
gesetzt werden kann. Dies bedeutet, dass berechnete Konfigurationen eine Information darüber liefern
können, ob man in die richtige Richtung sucht. Im Normalfall ist es die Position der Konfigurationen,
aus denen die Entfernung zum Endpunkt berechnet werden kann. Gleichzeitig spielt auch die bereits
zurückgelegte Distanz bis zu dieser Konfiguration eine Rolle. Aus einer Liste von mehreren Konfigurationen
wählt A* immer die Konfiguration mit den geringsten Kosten f (x), die sich berechnen lässt
über die Summe der Heuristikfunktion h(x, e), die die Kosten bis zur Endkonfiguration e schätzt und
der Kostenfunktion g(s, x) für die bisher zurückgelegte Distanz als Kosten von der Startkonfiguration
s.
f (x) = g(s, x) + h(x, e)
Solange die Heuristikfunktion die realen Kosten nicht überschätzt, ist A* optimal (Hart, Nilsson &
Raphael 1968 [9]).
∀x, y : h(x, y) ≤ g(x, y)
Auf genauere Auswirkungen und Variationen der heuristischen Funktion wird im nächsten Kapitel
(6.2) eingegangen. An dieser Stelle sei die Heuristikfunktion die euklidische Distanz, die für alle
Konfigurationen kleiner oder gleich der tatsächlichen Distanz ist und somit A* optimal ist.