Bahnplanungsframework für ein autonomes Fahrzeug - oops ...

36 Motion Primitives
Die Orientierung beträgt dann im Verlauf der Länge:
θ(l) =
∫ l
0
κ(t)dt = σl2
2
(4.2)
Für die Änderung der Koordinaten in Abhängigkeit von der Länge gilt (Abb. 4.4):
ẋ(l) = ∆l · cos(θ(l))
ẏ(l) = ∆l · sin(θ(l))
∆l
sin( θ )
θ
cos( θ )
(Abb. 4.4): Änderung der Position, für den Winkel θ und die Distanz ∆l.
Macht man den Schritt ∆l infitisimal klein, somit berechnen sich die endgültigen Koordinaten in
Abhängigkeit zu der Länge l über das Integral:
x(l) =
y(l) =
∫ l
0
∫ l
0
cos(θ(t))dt
sin(θ(t))dt
(Eq.4.2)
=
(Eq.4.2)
=
∫ l
0
∫ l
0
( σt
2
cos
2
( σt
2
sin
2
Diese Integrale lassen sich nicht ohne weiteres berechnen. Es gibt aber die Fresnel-Integrale, für die
es bereits effektive Programmbibliotheken gibt und in die sich diese Formeln mithilfe der Substitution
überführen lassen können. Die Fresnel-Integrale sind folgendermaßen definiert:
Substitution:
C f (x) =
S f (x) =
∫ x
0
∫ x
0
)
dt
)
dt
cos
( π
2 · t2) dt (4.3)
sin
( π
2 · t2) dt (4.4)
πu 2
2 = σt2
2
⇒ u =
√ σ
π · t (4.5)
du =
√ σ
π · dt ⇒ dt = du · √ π
σ
(4.6)