Bahnplanungsframework für ein autonomes Fahrzeug - oops ...

2.3 Kollisionserkennung 13
Sei das Polygon definiert als:
P = {⃗P i |i ∈ Z n , ⃗P i ∈ R 2 } (2.6)
Dabei bezeichnet Z n den Restklassenring mod n und n gibt die Anzahl der Punkte in diesem Polygon
an. Um für einen Punkt ⃗P i den Punkt ⃗ P ′ i der D-Hülle zu berechnen, braucht man zunächst die
Richtungsvektoren zu den jeweiligen Nachbarn des Punktes (Abb. 2.8).
V⃗
i−1 = P⃗
i−1 − ⃗P i
V⃗
i+1 = P⃗
i+1 − ⃗P i
⃗
V ′ i = ⃗ P ′ i − ⃗P i
P i-1
P i
'
D
P i
V i
'
D
P i+1
V i+1
V i-1
(Abb. 2.8): Punkt P ′ i der D-Hülle eines Polygons
Aus diesen lässt sich ein Gleichungssystem ableiten:
D = [ V⃗
i−1 × V ⃗′ i ]
| V⃗
i−1 |
D = [ V ⃗′ i × V⃗
i+1 ]
| V⃗
i+1 |
⇒
[ V⃗
i−1 × V ⃗′ i ] = | V⃗
i−1 | · D
⇒ [ ⃗ V ′ i × ⃗ V i+1 ] = | ⃗ V i+1 | · D
In Paremeterdarstellung (nach Anwendung (Eq. 2.4)) hat man das folgende lineare Gleichungssystem:
x i−1 · y i − x i · y i−1 = | ⃗ V i−1 | · D
x i · y i+1 − x i+1 · y i = | ⃗ V i+1 | · D
Die Matrixform des LGS, nach x i und y i :
( ∣ )
−yi−1 x i−1 ∣∣∣ | V⃗
i−1 | · D
y i+1 −x i+1 | V⃗
i+1 | · D