Bahnplanungsframework für ein autonomes Fahrzeug - oops ...

72 Suchalgorithmen
Das Ansehen des ersten Elements geschieht direkt in konstanter Zeit, denn es liegt an der Wurzel.
Will man dieses Element gleichzeitig entfernen, so müssen die beiden Teilbäume gemischt (engl.
merge) werden. Dafür geht die rekursive Funktion bis zum tiefsten Element und mischt dabei jeweils
die Teilbäume, was im middle case log 2 (n) Schritte braucht und im worst case, wenn der Baum
entartet ist und als lineare Liste vorliegt, braucht dieser im Mittel n 2
Schritte. Zum Einfügen wird das
neue Element als Baum angesehen und muss mit dem bereits bestehenden Baum gemischt werden,
was wiederum bis zum tiefsten Element rekursiv mischt und ähnlich zum Entfernen im middle case
log 2 (n) Schritte braucht. Die Tabelle (Tab. 6.7) vergleicht die Komplexität eines Skew Heaps mit der
einer naiven Liste.
Skew Heap
Naive Liste
middle case worst case middle case worst case
kleinstes Element ansehen O(1) O(1) O(n) O(n)
kleinstes Element entfernen O(log 2 n) O(n) O(n) O(n)
Element hinzufügen O(log 2 n) O(n) O(n) O(n)
Beliebiges Element entfernen O(n) O(n) O(n) O(n)
(Tab. 6.7): Vergleich Skew Heap mit einer naiven Liste.
6.3.2 SORTIERTE LISTE
Eine weitere Möglichkeit bietet eine Sortierte Liste. Dadurch dass nur einzelne Elemente eingefügt
werden, kann eine Liste leicht sortiert gehalten werden, wodurch sich das Entfernen des kleinsten
Elements auf einen konstanten Zugriff minimiert. Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Liste sortiert
zu halten, neben dem naiven Ansatz den Einfügeplatz von Beginn der Liste iterativ zu suchen,
kann das Prinzip „Devide & Conquer“ ausgenutzt werden. Man teilt die Liste in zwei Hälften und
schaut sich das mittlere Element an, ist das einzufügende Element größer als dieses, so kommt als
Einfügestelle nur die hintere Hälfte in Frage, denn alle Elemente der ersten Hälfte sind kleiner. Dies
kann man rekursiv weiter fortführen, bis die zu untersuchende Liste kein einziges Element mehr enthält,
was die Einfügestelle für das Element ist. Der Vorteil zu dem zuvor genannten Skew Heap ist,
dass die Binäre Suche immer ausgenutzt werden kann und es keinen Baum gibt der entarten kann,
sondern die Suche den Bereich immer teilt und somit auch im worst case die Suche log 2 (n) Schritte
braucht (Tab. 6.8).
Skew Heap
Sortierte Liste
middle case worst case middle case worst case
kleinstes Element ansehen O(1) O(1) O(1) O(1)
kleinstes Element entfernen O(log 2 n) O(n) O(1) O(1)
Element hinzufügen O(log 2 n) O(n) O(log 2 n) O(log 2 n)
Beliebiges Element entfernen O(n) O(n) O(log 2 n) O(log 2 n)
(Tab. 6.8): Vergleich Skew Heap mit einer sortierten Liste.
Ein generischer Algorithmus zum Einfügen in eine solche Liste könnte folgendermassen aussehen
(Algorithmus 6.3):