Beugung und Interferenz - Walther MeiÃƒÂŸner Institut

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214 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und Interferenz(a)(b)(c)Abbildung 5.12: (a) Die Cornu-Spirale. (b) Amplitude des Fresnel’schen Beugungsmusters, berechnetfür eine Schlitzblende der Breite 0.9 mm mit den Parametern L = 20 cm, L 1 = 28 cm und λ = 600 nm. Diedicke Line stellt den geometrischen Schatten dar. (c) Photographie des Beugungsmusters.Anzahl von Werten von X 1 und X 2 , so dass (X 1 − X 2 )/β der Breite des Spaltes entspricht, und messendie vektorielle Länge zwischen den entsprechenden Punkten X 1 und X 2 auf der Spirale. Dies ergibt dieAmplitude und Phase von Ψ im Punkt P, der x = 0 gegenüberliegt.Wir werden sehen, dass die Beugungsmuster eine feine Strukturierung zeigen, wenn sowohl X 1 als auchX 2 in den “Hörnern” der Spirale liegen, d.h. wenn (X 1 − X 2 ) ungefähr 10 oder größer ist. Als Beispielzeigt Abb. 5.12b ein für (X 1 − X 2 )=8.5 berechnetes Beugungsmuster. Verwendet man Licht der Wellenlänge600 nm ergibt sich aus (5.3.25) (x 1 − x 2 ) 2 /L ≃ 7 µm, was einem Spalt der Breite 2.7 mm ineiner Entfernung von 1 m entspricht.Wir müssen jetzt auch das y-Integral in (5.3.23) betrachten. Für dieses Integral ergibt die Cornu-Spiraleden Vektor C + C − =(2πiL/k 0 ) 1/2 , der einen Winkel von 45 ◦ zur reellen Achse im Diagramm hat. DiesePhase ist natürlich nicht zu beobachten. Es ist aber befriedigend, bestätigt zu finden, dass das Beugungsmustereiner unendliche ausgedehnten Blendenöffnung, für die die Integrationsbereiche sowohl in x alsauch in y-Richtung nicht begrenzt sind, die FormΨ P = k ∫0A ∞[ ] ∫ ik0∞[ ] ik0exp2πiL −∞ 2L x2 dx h(y) exp−∞ 2L y2 dy = A (5.3.28)besitzt, was man von einer ungestörten Welle erwarten würde (A enthält hierbei bereits den Phasenfaktorexp[ik 0 (L + L 1 )]).Beugung an der KanteAbb. 5.13a zeigt, dass für große Werte von X die Cornu-Spirale fast kreisförmig wird und zwar mit einemRadius |X| −1 , der bei der Annäherung an die Grenzen C + und C − sehr langsam gegen null konvergiert.Das Beugungsbild einer geraden Kante, die im Prinzip einer Blendenöffnung entspricht, die von einembestimmten Wert von X nach unendlich ausgedehnt ist, ist in Abb. 5.13b gezeigt. Dabei verbindet derc○Walther-Meißner-Institut
Abschnitt 5.3 PHYSIK III 215(a)(b)(c)Abbildung 5.13: (a) Konstruktion der Cornu-Spirale für die Kantenwelle in der Schattenregion (oben)und in der beleuchteten Region (unten). (b) Intensität des Fresnel’schen Beugungsmusters, die dickeLinie stellt den geometrischen Schatten dar. (c) Photographie des Beugungsmusters.Vektor, der Ψ(x) darstellt, den Punkt X mit C + . Ist X positiv, so dass X = 0 im geometrischen Schattenliegt, dreht der Vektor einfach um C + , wird aber dabei kontinuierlich kürzer und die Phase wächstmonoton an, wenn X → ∞ (siehe Abb. 5.13a):dφdX = K = X . (5.3.29)Dies ist mit einer von einer Linienquelle ausgesandten Lichtquelle identisch, da die Phasenbeziehung füreine solche Welle durch[Ψ P = exp ik 0 (x 2 + L 2 ) 1/2] = exp[iφ(x)] (5.3.30)gegeben ist. Nach der Entwicklung des Exponenten für x ≪ L erhält mandφdx≃k 0xLoderdφdX ≃ X . (5.3.31)Die Amplitude von Ψ ist dabei fast unabhängig von X. Da deshalb die Amplituden- und Phasenvariationenim Schattenbereich praktisch mit denen einer Lichtquelle identisch sind, erscheint die Kante als2003
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