Beugung und Interferenz - Walther MeiÃƒÂŸner Institut

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242 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und InterferenzJedes Maximum der Beugung ist durch ein Zahlenpaar (m u ,m v ) charakterisiert. Verwenden wir noch dieDefinition der Richtungskosinusse für den einfallenden und den gebeugten Strahl und ihren Zusammenhangmit den Wellenvektoren k bzw. k 0 (vergleiche (5.4.8)), so lässt sich (5.5.26) und (5.5.27) schreibenalsk x − k x0 = 2πm ua u(5.5.28)k y − k y0 = 2πm va v. (5.5.29)Aus diesen Gleichungen sieht man, dass die Änderung der Wellenvektoren bei der Streuung an einemzweidimensionalen Gitter durch ein Punktgitter beschrieben wird. Die Punkte dieses Gitters sind durchdie ganzen Zahlen a u und a v bestimmt, die Kantenlängen des Gitters sind 2π/a u und 2π/a v . Die z-Komponente des Wellenvektors stellt sich gemäß der Beziehung k = 2π/λ ein. Für genügend kleineWellenlängen kann man (5.5.28) und (5.5.29) immer erfüllen und erhält die entsprechende Beugungsfigur.Anstelle des einfachen Kreuzgitters kann man auch eine periodische, zweidimensionale Anordnung vonanderen Objekten, wie z.B. Lochblenden, verwenden. Vom Faltungstheorem der Fourier-Transformationlernen wir wiederum, dass das Beugungsbild dem Produkt der Fourier-Transformierten des Punktgittersund dem des Einzelobjekts entspricht. Im Beugungsbild liefert deshalb die Lage der Hauptmaxima dieInformation über die räumliche Wiederholung des Objekts, die Intensitäten der Hauptmaxima gebendann die Information über die Form der periodisch angeordneten, beugenden Objekte wieder.Das reziproke Gitter in zwei DimensionenWir wollen jetzt das Konzept des reziproken Gitters einführen. Dazu nehmen wir an, dass die Positionenvon Lochblenden in einem zweidimensionalen, unendlich ausgedehnten periodischen Gitter durch zweigegebene Gittervektoren a und b definiert werden, so dassf (x,y) =∞∑ δ(r − ha − kb) . (5.5.30)h,k=−∞Damit wird an jeden Punkt des periodischen Gitters, dessen Elementarzelle ein Parallelogramm mit denSeiten a und b ist, eine Delta-Funktion gesetzt. 13Die Fourier-Transformierte von (5.5.30) ist, wenn man u für den Vektor (u,v) einsetzt, gegeben durchΨ(u,v) =∞∑ exp[−iu · (ha + kb)] . (5.5.31)h,k=−∞13 Für ein gegebenes Gitter gibt es verschiedene Möglichkeiten, a und b zu wählen. Normalerweise sind aber ein oder zweidavon die offensichtlich einfachste Wahl.c○Walther-Meißner-Institut
Abschnitt 5.5 PHYSIK III 243BeugungsobjektBeugungsbild(a)sin θ x–sinθ x0λ/a ua u(b)a vλ/a vsin θ y–sinθ y0(c)Abbildung 5.29: Zur Veranschaulichung der Beugung am Kreuzgitter. Sind die beugenden Strukturennur in u- (a) oder nur in v-Richtung (b) moduliert, so erhält man entsprechende eindimensionale Beugungsbilder.Bei einer Kombination beider Strukturen, d.h. für ein Kreuzgitter, (c) ergibt sich ein Beugungsmustermit einer regelmäßigen zweidimensionalen Punktanordnung.Dieser Ausdruck kann deutlich vereinfacht werden, wenn man zwei neue Vektoren a ⋆ und b ⋆ in derEbene von u einführt, so dassa · a ⋆ = 1, b · b ⋆ = 1,a ⋆ · b = b ⋆ · a = 0 d.h. a ⋆ ⊥ b und b ⋆ ⊥ a . (5.5.32)Die Vektoren a ⋆ und b ⋆ sind nicht parallel und somit kann u als Linearkombination der beiden ausgedrücktwerdenu = (h ⋆ a ⋆ + k ⋆ b ⋆ ) 2π , (5.5.33)wobei h ⋆ und k ⋆ einfach beliebige Zahlen darstellen. Damit wird aus (5.5.31)2003
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