Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

274 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und InterferenzQuelleBSADetektorWasserausflussAbbildung 5.48: Fizeau-Experiment zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in strömendem Wasser.Eine wichtige moderne Anwendung des Sagnac-Interferometers ist die Verwendung als optisches Gyroskop.Hierzu nehmen wir an, dass der gesamte Interferometeraufbau in Rotation versetzt wird. DieWinkelgeschwindigkeit soll Ω betragen. In diesem Fall sieht der in Drehrichtung umlaufende Teilstrahl(im angepassten Inertialsystem) einen gegenüber dem in Gegenrichtung umlaufenden Strahl verlängertenWeg zum Detektor. Dies führt zu Laufzeitunterschieden und damit zur Interferenz. Dieser Effekt wirdSagnac-Effekt genannt. Dabei ist die relativistische Behandlung des Problems konzeptionell nicht einfachund führt immer wieder zu angeregten Diskussionen. Da es sich um ein beschleunigtes System handelt,müsste man die allgemeine Relativitätstheorie bemühen, falls man im ortsfesten Koordinatensystem desSpektrometers arbeiten wollte. Es zeigt sich aber, dass auch die spezielle Relativitätstheorie das richtigeErgebnis liefert. Um die Diskussion einfach zu halten, nehmen wir ein kreisförmiges Interferometer mitRadius R an, so dass die Geschwindigkeit RΩ des Mediums konstant ist. Der optische Weg für einenUmlauf ist L = 2πR. Die Geschwindigkeit ist v = RΩ und das Licht breitet sich in einem Medium mitBrechungsindex n aus. Die Lichtgeschwindigkeit in Drehrichtung soll c + , die entgegen dem Drehsinnc − sein. Diese Geschwindigkeiten stellen die beiden im Laborsystem gemessenen Lichtgeschwindigkeitendar. Während der Zeit t + , die das Licht in Drehrichtung braucht, bewegt sich der Strahlteiler umdie Strecke RΩt + , so dass c + t + = L + RΩt + gilt. Analog gilt c − t − = L − RΩt − . Kombinieren wir beideGleichungen, so erhalten wir[]1∆t = t + −t − = Lc + − RΩ − 1c − + RΩ. (5.7.34)Setzen wir c ± aus (5.7.33) ein, so erhalten wir∆t =2LRΩc 2 − R 2 Ω 2 ≃ 2LRΩc 2 . (5.7.35)Da LR/2 = πR 2 der eingeschlossenen Fläche entspricht, erhält man als Ergebnis, dass ∆t der Kreisfrequenzund der eingeschlossenen Fläche proportional ist.c○Walther-Meißner-Institut