Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

Abschnitt 5.5 PHYSIK III 235x = −a/2 und x = a/2. Die Fourier-Transformierte von f DS ergibt sich somit als Produkt der Fourier-Transformierten von f Spalt und h. Dies ist in Abb. 5.24 nochmals veranschaulicht.In Anbetracht der relativ einfachen Transmissionsfunktion des Doppelspaltes hätte man das Beugungsmusterauch anders ableiten können. Die formale Behandlung mit Hilfe des Faltungstheorems wird aberbei der Betrachtung komplexerer Doppelbeugungsobjekte verständlich. Das Beugungsbild der Doppelanordnungkann dann als Multiplikation des komplexen Beugungsbildes des Einzelobjektes mit einerKosinusfunktion in Analogie zu (5.5.3) verstanden werden. Es gibt aber gute Gründe für die Verwendungdiesen Ansatzes. Erstens haben wir so das komplette Profil des Beugungsmusters erhalten undnicht nur eines für die räumliche Anordnung der Spalte. Zweitens konnten wir dadurch zeigen, dass dieFaltungsmethode für ein einfaches Beispiel ein korrektes Ergebnis liefert. Schließlich haben wir drittensdie Grundlage für die Behandlung komplexerer Systeme gelegt, die wir in den nächsten Abschnittendiskutieren.5.5.2 Vertiefungsthema:Interferenzmuster zweier kreisförmiger LochblendenAls Beispiel betrachten wir jetzt zwei kreisförmige Lochblenden mit Radius R mit einem Abstand a.Die Transmissionsfunktion dieser Anordnung ist durch f (x,y) =[δ(x − a/2)δ(y)+δ(x + a/2)δ(y)] ⊗f Lochblende (x,y) gegeben. Das Beugungsmuster ergibt sich aus der Multiplikation des Beugungsmustereiner Lochblende (vergleiche (5.4.32)) mit der Interferenzfunktion 2cos(ua/2) der beiden Delta-Funktionen δ(x − a/2) und δ(x + a/2) zu[ ]Ψ DL (ξ ,φ) = 2cos(ua/2) πR 2 2J1 (ξ R)ξ R, (5.5.7)Vertiefungsthema:Interferenzmuster zweier paralleler Blenden beliebiger FormWenn wir ein Paar identischer Blenden mit gleicher räumlicher Orientierung betrachten, können wirsie wie oben diskutiert als die Faltung einer Einzelblende mit einem Paar von Delta-Funktionen interpretieren.Das Beugungsmuster ist damit das Produkt des Beugungsmusters der Einzelblende und derInterferenzfunktion, die aus einem Satz von Streifen mit kosinusförmigem Intensitätsverlauf besteht.Diese Argumentation gilt für einen Satz von Blenden mit beliebiger Form. Dies ist eines der zentralenErgebnisse der Beugungstheorie.5.5.3 Interferenzmuster eines periodischen GittersWir betrachten jetzt ein Beugungsgitter, das aus N langen Spalten besteht, die einen konstanten Abstanda haben sollen. Den Abstand a bezeichnet man in diesem Fall als die Gitterkonstante. Die Transmissionsfunktiondes Gitters kann durch f (x)= f Gitter (x) ⊗ f Spalt (x) ausgedrückt werden, wobei f Gitter durcheine Summe von δ-Funktionen gegeben ist, die die Positionen der einzelnen Gitterspalte angeben. Wirwollen uns zunächst nicht um den Beitrag zum Beugungsmuster, der von der Beugung am Einzelspaltherrührt, kümmern. Dessen Einfluss kann, wie oben gezeigt wurde, einfach durch Multiplikation mit derentsprechenden Beugungsfunktion berücksichtigt werden. Uns interessiert jetzt der Beitrag durch dieperiodische Wiederholung der Einzelspalte oder, anders ausgedrückt, die Beugung an N sehr schmalen2003