Beugung und Interferenz - Walther MeiÃƒÂŸner Institut

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224 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und Interferenz(a)1.0Ψ [b]0.80.60.4-10π/b(b)-8π/b-6π/b-4π/b-2π/b0.20.0-0.21.02π/bI [ b² ]4π/b6π/b8π/b10π/bu =(2π/λ) sinθ x0.80.60.4x 100.20.0-10π/b -8π/b -6π/b -4π/b -2π/b 2π/b 4π/b 6π/b 8π/b10π/bu = (2π/λ) sinθ xAbbildung 5.17: (a) Darstellung der Funktion sin(bu/2)/(bu/2) und (b) des Intensitätsverlaufs bei derBeugung an einem langen Spalt der Breite b.5.4.3 Vertiefungsthema:Beugung am unscharfem SpaltWir nehmen nun an, dass die Transmissionsfunktion über die gesamte Spaltbreite nicht gleich eins ist,sondern an den Rändern des Spalts kontinuierlich auf null absinkt. Wir haben also einen Spalt der Breiteb, aber mit “unscharfen” Rändern. Modellieren wir die Transmissionsfunktion mit einer Dreiecksfunktionf (x,y) ={1 −|x|/b für |x|≤b0 für |x| > b , (5.4.18)so erhalten wir einen Spalt mit einer effektiven Breite ∫ f (x)dx/ f max = b, die gleich der Spaltbreite desscharfen Spalts aus dem vorangegangenen Abschnitt entspricht. Durch partielle Integration erhalten wirc○Walther-Meißner-Institut
Abschnitt 5.4 PHYSIK III 225(a)1f(x)(b)1Ψ (u,0) x (2πσ 2 ) 1/22.35 σ2.35/σ0-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x0-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5uAbbildung 5.18: Gauß-Funktion (a) und ihre Fourier-Transformierte (b).[ ∫ 1 bΨ(u,v) = (b − x) exp(−iux)dx+ 1 ∫ 0](b + x) exp(−iux)dxb 0b −b∫ ∞× exp(−ivy)dy−∞( ) sin(bu/2) 2= bδ(v) . (5.4.19)bu/2Die Form von Ψ(u,0) ist die gleiche wie die in Abb. 5.17b gezeigte Abhängigkeit. Die Funktion istüberall positiv und hat Nullstellen beisin θ minx = ± nλ bfür n = 1,2,3,... . (5.4.20)Die Positionen dieser Nullstellen sind exakt die gleichen wie beim scharfen Spalt. Da die effektiven Breitengleich angenommen wurden, ist dies nicht überraschend. Allerdings sind die Nebenmaxima deutlichreduziert. Ihre Intensitäten sind nun proportional zu (2n + 1) −4 .Eine weitere Glättung führt zu einer weiteren Unterdrückung der Seitenbänder. Eine besonders glatteKurve ist die Gauß-Funktion f (x)=exp(−x 2 /2σ 2 ),für die man∫ ∞Ψ(u,v) = exp(−x 2 /2σ 2 ) exp(−iux)dx exp(−ivy)dy−∞−∞= √ ( )] σ2πσ 2 exp[−u 2 2δ(v) (5.4.21)2erhält. Da die Fourier-Transformierte der Gauß-Funktion wiederum eine Gauß-Funktion ist, besitzt dieFunktion Ψ(u,0) keinerlei Seitenbänder.Die volle Breite der Gauss-Kurve bei halbem Maximalwert (FWHM: Full Width at Half Maximum)erhält man zu∫ ∞FWHM = 2 · √2ln2σ= √ 8ln2σ = 2.35 σ (5.4.22)Entsprechend ergibt sich für die Fourier-Transformierte FWHM = 2.35 · σ.2003
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