Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

Abschnitt 5.7 PHYSIK III 279Wir betrachten zunächst das transmittierte Licht. Die Reihe der Partialwellen kann durchΨ(g) = tt∞∑ r 2p exp(ipg) (5.7.45)p=0dargestellt werden. Diese Funktion kann sowohl als Fourier-Reihe mit den Koeffizienten a p = r 2p alsauch als geometrische Reihe mit dem Faktor r 2 exp(ig) ausgewertet werden.Wir betrachten (5.7.45) zunächst als Fourier-Reihe. Sie stellt eine periodische Funktion mit der Periode∆g = 2π dar. Die Funktion innerhalb einer jeden Periode ist die Fourier-Transformierte der Koeffizientenr 2p , wobei p als kontinuierliche Variable angesehen wird. Schreiben wirr 2p = exp(2pln r) , (5.7.46)so sehen wir, dass wir die Transformierte vonf (p) = exp(−α p) (p ≥ 0), f (p)=0 (p < 0) (5.7.47)benötigen, die durchF(p) =∫ ∞0exp[−(α + ig)p]dp=(α + ig) −1 (5.7.48)gegeben ist, da p und g konjugierte Variablen sind. 30 Ersetzen wir α durch −2lnr, so erhalten wir dasgesuchte Resultat:F(g) = (−2lnr + ig) −1 ; |F(g)| 2 =[4(lnr) 2 + g 2 ] −1 . (5.7.49)Die Funktion |F(g)| 2 aus (5.7.49) wird Lorentz-Funktion genannt. Ihre Intensität ist in Abb. 5.52 gezeigt.Oberflächlich betrachtet sieht die Kurve aus wie eine Gauß-Kurve, sie fällt aber zu den Flanken hinlangsamer ab. Die Fourier-Reihe (5.7.45) entspricht F(g), gefaltet mit∑δ(g − 2πm). Diese Faltung hatdie Intensität |Ψ(g)| 2 und ist in Abb. 5.52 als durchgezogene Linie gezeichnet.Wir betrachten nun die Halbwertsbreite der Lorentz-Funktion. Den halben Funktionswert des Maximums,1/8(ln r) 2 , erhält man für g H = ±2|lnr|, so dass wir für die volle Breite bei halbem Funktionswert,FWHM, 3130 Der Exponent in (5.7.46) ist exp(ipg).31 Full width at half maximum.2003