Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

240 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und Interferenz1.0I / N 2 b 20.80.60.40.2Hauptmaximum1. Ordnungsin θ = λ / bHauptmaximum3. OrdnungN = 100.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4sinθAbbildung 5.28: Intensitätsverlauf des gebeugten Lichts für ein Gitter mit N = 10 a/λ = 10 und einerSpaltbreite b/a = 0.5. In die zweite Interferenzordnung gelangt wegen des Minimums der Beugungsfunktiondes Spalts keine Intensität.Reales BeugungsgitterFür ein reales Beugungsgitter müssen wir die Transmissionsfunktion b(x) der einzelnen Spalteberücksichtigen. Die gesamte Transmissionsfunktion des realen Gitters ergibt sich dann zuf (x) = b(x) ⊗N/2∑n=−N/2δ(x − na) , (5.5.21)wobei N wiederum die Gesamtzahl der Gitterspalte ist. Das Beugungsmuster erhält man als Produkt derFourier-Transformierten des Gitters mit derjenigen des Spalts. Wir erhaltenI(θ) = N 2 sin2 (π Naλ sinθ)sin 2 (π a λ sinθ) · b2 sin2 (π b λ sinθ)(π b λ sinθ)2 . (5.5.22)Das Ergebnis ist in Abb. 5.28 für N = 10, a/λ = 10 und b/a = 0.5 gezeigt. Wichtig ist, dass mit zunehmenderSpaltbreite die Größe der möglichen Beugungswinkel, bei denen noch merkliche Intensitätauftritt, abnimmt. Die Spaltbreite sollte deshalb möglichst klein sein. Eine Verringerung der Spaltbreiteführt aber gleichzeitig zu einer Abnahme der durchgelassenen Lichtmenge. Dieser Sachverhalt wird unsin Abschnitt 5.7.2 noch einmal im Zusammenhang mit der Effizienz von Beugungsgittern beschäftigen.Für N → ∞ ist die Transformierte der Summation durch (5.5.10) gegeben und man erhältΨ(u) = B(u)∞∑ δ(u − 2πmm=−∞ a ) , (5.5.23)c○Walther-Meißner-Institut