Beugung und Interferenz - Walther MeiÃƒÂŸner Institut

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230 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und Interferenz2Rf(x,y) dy-R-πR 04πR4RxAbbildung 5.21: Kreis und Rechteck gleicher Fläche.Beugungstheorie ist deshalb ideal auf dieses optische System anwendbar. Entsprechend (5.4.33) erzeugtjede Linsenöffnung vom Durchmesser D = 2R einen Beugungsfleck in der Beobachtungsebene, dem eineWinkelausdehnung von sinθ min = 1.22λ/D entspricht. Nehmen wir nun an, dass wir mit einem Fernrohrzwei astronomische Objekte beobachten, die vom Auge unter dem Winkel θ min wahrgenommenwerden. Dann entspricht das Bild dieser Objekte der Überlagerung der jeweiligen Beugungsbilder. DasMaximum des Flecks von Objekt eins, wird im Minimum des Flecks von Objekt 2 zu liegen kommen.Nach Rayleigh bezeichnen wir die beiden Objekte als vom Fernrohr gerade noch auflösbar. ÄhnlicheÜberlegungen lassen sich für das Mikroskop anstellen (eine genaue Diskussion folgt in Kapitel 7). Wiewir später noch im Detail zeigen werden, kann das Auflösungsvermögen optischer Instrumente nichtbeliebig erhöht werden. Zwar könnte man theoretisch sehr große optische Bauteile heranziehen, jedochweisen diese dann entsprechende Abbildungsfehler auf. Die Beugungsbeschränkung ist vor allen für dieRadioastronomie wegen der hier auftretenden großen Wellenlängen ein Problem.5.4.7 Überlagerung von BeugungsmusternDie additive Eigenschaft der Fourier-Transformation ermöglicht es, Beugungsmuster von komplexen Objektenherzuleiten, wenn diese sich als algebraische Summe von einfacheren Objekten schreiben lässt.Die getrennten Komponenten des Objekts müssen dazu bezüglich eines gemeinsamen Ursprungs ausgedrücktwerden. Die Transformierte erhält man dann durch separate Addition der Real- und Imaginärteileder Transformierten der Einzelkomponenten. Dieser Prozess ist besonders einfach, wenn die Komponentenpunktsymmetrisch bezüglich eines gemeinsamen Zentrums sind. In diesem Fall sind all ihre Transformiertenrein reell.So ist es z.B. möglich, das Beugungsmuster dreier Spalte dadurch abzuleiten, dass man das Beugungsmusterder beiden äußeren zu dem des inneren addiert. Das Beugungsmuster von vier Spalten mit gleichemAbstand voneinander kann man durch Aufteilen in zwei Paare vereinfachen, wobei ein Paar dendreifachen Spaltabstand des anderen besitzt.Ein undurchsichtiges Objekt kann dadurch behandelt werden, dass man seine Transformierte als negativansetzt. So kann man beispielsweise einen undurchsichtigen rechteckigen Rahmen als Differenz vonc○Walther-Meißner-Institut
Abschnitt 5.4 PHYSIK III 231Abbildung 5.22: Komplementäre Beugungsobjekte zur Demonstration des Babinet’schen Prinzips.zwei Rechtecken mit gleichem Schwerpunkt aber unterschiedlicher Größe definieren. In gleicher Weisekann man das Beugungsmuster eines kreisförmigen Rings als Differenz der Muster zweier konzentrischerKreisscheiben mit unterschiedlichem Durchmesser ausdrücken.5.4.8 Das Babinet’sche PrinzipVerwendet man den Beugungsaufbau, der in Abb. 5.15 gezeigt ist, so erhält man ohne beugendes Objektin der Beobachtungsebene (d.h. in der Brennebene der Linse L) eine ungestörte Feldverteilung Ψ o (u,v).Bei Verwendung einer Punktquelle wird man nur am Koordinatenursprung Helligkeit erwarten, an allenanderen Punkten gilt Ψ(u,v)=0.Wir betrachten jetzt zwei komplementäre Beugungsobjekte B 1 und B 2 , die so gestaltet sind, dass dietransparenten Bereiche des einen gerade den opaken Bereichen des anderen Objekts entsprechen (siehehierzu Abb. 5.22). Das Babinet’sche Prinzip besagt nun, dass das Beugungsmuster dieser beiden Objektegenau gleich ist, bis auf einen kleinen Bereich um den Mittelpunkt. Dieses Theorem kann allgemeinmit Hilfe der skalaren Beugungstheorie bewiesen werden. Wir nehmen für die Beugungsmuster derkomplementären Objekte, die mit dem gleichen Lichtstrahl beleuchtet werden, die Werte Ψ 1 und Ψ 2 an.Wie wir oben diskutiert haben, kann die Beugungsfunktion für eine Kombination von Beugungsobjektendurch Addition ihrer einzelnen Funktionen (diese können komplex sein) erhalten werden. Wenn wir Ψ 1und Ψ 2 addieren, sollten wir deshalb die Beugungsfunktion eines ungestörten Strahls erhalten. Ist dieserkreisförmig, ergibt die Summe von Ψ 1 und Ψ 2 die Airy-Scheibe, die einen kleinen Bereich in der Mitteder Scheibe bedeckt. Der Rest ist dunkel. Das heißt, die Beträge von Ψ 1 und Ψ 2 müssen bis auf einenkleinen Bereich in der Mitte des Musters gleich sein, die Phasen müssen dagegen um π verschoben sein.Die Intensitätsfunktionen |Ψ i | 2 sind daher identisch und es gilt Ψ 1 (u,v)=−Ψ 2 (u,v) und |Ψ 1 | 2 = |Ψ 2 | 2 .Der experimentelle Nachweis des Babinet’schen Prinzips ist vor allem wegen des starken zentralen Maximumsnicht einfach. Ist der ungestörte Strahl sehr stark, ist das Maximum sehr stark und dominiertdas Beugungsmuster des im wesentlichen durchsichtigen Beugungsobjekts. Um in Experimenten einüberzeugendes Ergebnis zu erhalten, muss man folgende Grundregeln berücksichtigen:• Die Kanten des ungestörten Strahls sollten unscharf sein. Damit werden die äußeren Bestandteileder Fourier-Transformierten unterdrückt (siehe Abschnitt 5.4.3).• Die transparenten und opaken Regionen des Beugungsobjekts sollten jeweils etwa die Hälfte derGesamtfläche einnehmen, um ein deutliches Beugungsmuster zu erhalten.• Die Beugungsobjekte sollten zahlreiche kleine Details aufzeigen, um ein helles Beugunsbild weitaußerhalb des zentralen Maximums u liefern.2003
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