Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

228 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und InterferenzAnalog gilt für (ξ ,φ) als Koordinaten für das Beugungsmusteru = ξ cosφ und v = ξ sinφ . (5.4.30)Damit wird (5.4.10) zuΨ(u,v) ==∫ R ∫ 2π0 0∫ R ∫ 2π0 0exp[−i(ρξ cosφ cosθ + ρξ sinφ sin θ)]ρdρdθexp[−iρξ cos(θ − φ)]ρdρdθ . (5.4.31)Dieses Integral kann mit Hilfe von Bessel-Funktionen gelöst werden und ergibtΨ(ξ ,φ) = 2πRJ 1(ξ R)ξ[ ]= πR 2 2J1 (ξ R)ξ R, (5.4.32)Das Beugungsmuster ist rotationssymmetrisch, Ψ(ξ ,φ) hängt wie erwartet nicht von φ ab.Wir betrachten nun die Form der Funktion J 1 (x)/x. J 1 (x) ist zwar für x = 0 null, allerdings besitzt J 1 (x)/xgenauso wie sinx/x für x = 0 einen endlichen Wert, nämlich eins. Sie nimmt dann mit zunehmendem xzuerst ab, wird negativ und oszilliert dann um null, wobei die Oszillationsamplitude mit zunehmendem xabnimmt. Mit zunehmendem x nimmt auch die Oszillationsperiode langsam ab und nähert sich für großex einem konstanten Wert (siehe Abb. 5.20). Für die Nullstellen erhält mansinθ min ≃ 1.22 λ 2R ,2.23 λ 2R ,...,(n + 1/4) λ 2R . (5.4.33)Das zentrale Maximum des Beugungsbildes ist als Airy-Scheibe bekannt und reicht bis zur ersten Nullstellebei ξ R = 3.83 bzw. sinθ = ξ /k 0 = 3.83λ2πR= 1.22λ/2R. Wie man aufgrund der Eigenschaften vonFourier-Transformierten erwartet, ist der Radius der Airy-Scheibe umgekehrt proportional zum Radiusder Lochblende.Wir wollen nun kurz eine einfachere Ableitung der Größe der Airy-Scheibe diskutieren, da die Ableitungmit Hilfe der Bessel-Funktionen wenig zum physikalischen Verständnis beiträgt. Dabei benutzen wir diein den Abschnitten 5.4.2 und 5.4.3 gemachten Überlegungen. Nehmen wir an, dass wir eine Funktionf (x,y) mit einem Beugungsmuster Ψ(u,v) haben. Entlang der v = 0 Achse haben wir dannΨ(u,0) ==∫∫f (x,y)exp(−iux)dxdy∫ ∞[ ∫ ∞]f (x,y)dy exp(−iux)dx . (5.4.34)−∞ −∞c○Walther-Meißner-Institut