Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

232 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und Interferenz5.5 InterferenzWir haben bisher Effekte behandelt die sich auf die Veränderung einer einzelnen Wellenfront durchein Beugungsobjekt bezogen haben. Wir wollen nun Situationen betrachten, bei denen zwei oder mehrereWellenfronten miteinander wechselwirken. Die dabei auftretenden Effekte werden Interferenz genannt.Wir werden in diesem Abschnitt hauptsächlich Interferenzphänomene diskutieren, die aus derÜberlagerung von Wellenfronten resultieren, die von identischen Beugungsobjekten ausgehen. Wir werdenuns dabei auf ein- und zweidimensionale Objekte beschränken. Die dreidimensionale Interferenzwird dann erst in Abschnitt 5.6 behandelt.Bei der Beschreibung von Interferenzeffekten an Objekten, die aus mehreren identischen Einzelobjektenbestehen (z.B. mehrere identische Spalte) werden wir uns das Prinzip der Faltung zunutze machen. Zweigleiche, parallel orientierte Spalte können wir z.B. als die Faltung eines einzelnen Spaltes mit einemPaar von Delta-Funktionen, die jeweils im Zentrum der Einzelspalte liegen, ausdrücken (zur Definitionder Faltung siehe Anhang B, Abschnitt B.5). Wir werden ferner das Faltungstheorem benutzen. Allgemeinbesagt das Faltungstheorem der Fourier-Transformation Folgendes: Die Fourier-Transformierte derFaltung (bezeichnet mit dem Symbol ⊗) zweier Funktionen f und g ist gleich dem Produkt der Fourier-Transformierten FT( f ) und FT(g) dieser Funktionen (vergleiche hierzu Anhang B.5, Gleichung (B.71)):FT( f ⊗ g) = FT( f ) · FT(g) . (5.5.1)Bezogen auf das Beispiel des Doppelspalts bedeutet dies, dass das Interferenzmuster durch das Produktdes Beugungsmusters eines Einzelspaltes mit dem eines Paares von Delta-Funktionen gegeben ist. Dadurchkönnen wir das Interferenzproblem in zwei Teile aufspalten, nämlich in die Ableitung der Fourier-Transformierten eines einzelnen Spalts und der eines Satzes von Delta-Funktionen. Die Transformiertedes Spalts bezeichnen wir dabei als Beugungsfunktion und die der Delta-Funktionen als Interferenzfunktion.Das vollständige Beugungsmuster ist das Produkt dieser beiden Funktionen.5.5.1 Interferenzmuster eines DoppelspaltesWir betrachten einen Doppelspalt, der aus der Anordnung zweier langer Spalte der Breite b entsteht, dieparallel zueinander verlaufen und einen Abstand a besitzen (siehe Abb. 5.23a). Die Transmissionsfunktionf DS eines Dopplespaltes können wir als Faltung der Transmissionsfunktion eines einfachen Spaltesmit einem Paar von Delta-Funktionen, die an den Orten der Einzelspalte, z.B. bei −a/2 und a/2, liegen,beschreiben. Es gilt alsof DS (x) = [δ(x − a/2)+δ(x + a/2)] ⊗ f Spalt (x)=∫ ∞−∞f Spalt (x − x ′ ) [ δ(x ′ − a/2)+δ(x ′ + a/2) ] dx ′= f Spalt (x − a/2)+ f Spalt (x + a/2) , (5.5.2)wobei f Spalt durch (5.4.13) gegeben ist. Damit erhalten wirc○Walther-Meißner-Institut