Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

244 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und Interferenz(a)y(b)a*vaγbγxb*uAbbildung 5.30: Zum Zusammenhang zwischen Raumgittervektoren (a) und Vektoren des reziprokenGitters (b). Es ist jeweils die zweidimensionale Einheitszelle dargestellt.Ψ(u,v) =∞∑ exp[−2πi(hh ⋆ a ⋆ · a + kk ⋆ b ⋆ · b]h,k=−∞= ∑exp[−2πi(hh ⋆ + kk ⋆ )] . (5.5.34)Die Summe ist für allgemeine h ⋆ und k ⋆ normalerweise klein, da sie eine unendliche Summe aus komplexenZahlen mit einem Betrag von eins darstellt, die sich im Wesentlichen gegenseitig aufheben. Sinddagegen h ⋆ und k ⋆ ganze Zahlen, so ist jeder Term gleich eins und Ψ(u,v) wird unendlich. Daher istΨ(u,v) ein Gitter von Delta-Funktionen auf dem Gitter, das durch die Gittervektoren a ⋆ und b ⋆ definiertwird. Dieses Gitter ist das reziproke Gitter.Die Vektoren a ⋆ und b ⋆ sind leicht zu identifizieren (siehe hierzu Abb.5.30). Ist der Winkel zwischen aund b gleich γ, dann definieren die Beziehungen a ⋆ · a = 1 und a ⋆ · b = 0 den Vektor a ⋆ als den Vektor,der senkrecht auf b steht und eine Länge (asin γ) −1 hat. Analog dazu ist b ⋆ senkrecht zu a und hat dieLänge (bsin γ) −1 . Die Vektoren a ⋆ und b ⋆ heißen reziproke Gittervektoren. Der Name reziprokes Gitterkommt daher, dass die Dimensionen des reziproken Gitters in einem reziproken Verhältnis zu denen desnormalen Raumgitters stehen. Reduzieren wir z.B. a und b um einen konstanten Faktor, dehnt sich dasreziproke Gitter um diesen Faktor aus.c○Walther-Meißner-Institut