Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

Abschnitt 5.4 PHYSIK III 223Ψ(u,v) =∫ b/2−b/2= b sin(bu/2)bu/2exp(−iux)dx∫ ∞−∞exp(−ivy)dyδ(v) . (5.4.14)Hierbei haben wir die bekannten Ausdrücke für die Integrale benutzt, die in jedem Mathematik-Handbuch gefunden werden können. Das erste Integral stellt dabei die Fouriertransformierte der Rechteckfunktiondar, die in Abb. 5.17 gezeigt ist. Das zweite Integral stellt die Fourier-Transformierte derEins-Funktion dar, welche die Delta-Funktion ergibt. 11 Die Intensität des Fraunhofer’schen Beugungsmustersentlang der Achse v = 0 beträgt( ) sin(bu/2) 2I(u,0)=|Ψ(u,0)| 2 = b 2 (5.4.15)bu/2Der Verlauf der Intensität folgt also der wohlbekannten Funktion (sin x/x) 2 , die in Abb. 5.17 gezeigt ist.Man beobachtet im Zentrum (u = 0) das intensivste Maximum. Danach folgt zu beiden Seiten hin eineAbfolge von Maxima und Minima, deren Intensität sehr schnell abklingt. Der physikalische Grund fürdiese Intensitätsminima liegt darin begründet, dass gebeugtes Licht von verschiedenen Bereichen desSpaltes gerade destruktiv interferiert.Die Nullstellen der Funktion I(u,0) liegen bei den Nullstellen von sin(bu/2) mit u ≠ 0. Mit u =k 0 sinθ x = 2π λ sinθ x erhält man somit für die Lage der Minima bei der Beugung am Spaltsin bu 2( )πb min= sin sinθx= 0λsinθ minx = ± nλ bfür n = 1,2,3,... . (5.4.16)Es ist bemerkenswert, dass sich die Lage benachbarter Minima gerade um λ/b unterscheiden. Lediglichdie Minima links und rechts vom zentralen Maximum sind doppelt so weit, also 2λ/b voneinanderentfernt. Die volle Halbwertsbreite des Hauptmaximums erhält man zu etwa 0.9λ/b. Bei sehr kleinenSpaltbreiten b < λ treten keine Minima mehr auf, der Spalt dient dann als Linienquelle, da die Spaltbreiteso klein ist, dass keine Bereiche mehr existieren, die destruktiv miteinander interferieren können.Nebenmaxima der gebeugten Intensität treten immer dann auf, wenn tan(bu/2) =bu/2. Die Lage derMaxima der gebeugten Intensität bei der Beugung am Spalt ist somitsin θx max = ±1.43 λ b ,±2.46λ b ,...I(θx max )I(0)= 0.047, 0.017,... . (5.4.17)Für höhere Ordnungen lässt sich die Lage der Nebenmaxima einfach angeben, man erhält sinθ max,n± 2n+12λb .x =11 Die Strahlen werden in v-Richtung durch den unendlich langen Spalt nicht gebeugt. Die parallelen Strahlen werden durchdie Linse alle auf die optische Achse (v = 0) fokussiert.2003