Beugung und Interferenz - Walther MeiÃƒÂŸner Institut

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220 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und InterferenzRL‘ LPp yp xf‘ fBeugungsöffnungAbbildung 5.15: Anordnung zur Beobachtung der Fraunhofer’schen Beugung: Man beobachtet in derBrennebene der Linse L, während sich die Beleuchtungsquelle in der Brennebene von L ′ befindet.Wellenfrontlx + my + nz = 0yObjektebeneRLinseBp yZXxAPp xOzCYUfBeobachtungsebenePWellenfrontlx + my + nz = 0ZyXβzu B,Pzu A,POθ yzAbbildung 5.16: Zur Definition der Größen bei der Fraunhofer-Beugung an einem zweidimensionalenObjektZX = lx + my . (5.4.4)Daraus folgtXBP = OAP − lx − my . (5.4.5)c○Walther-Meißner-Institut
Abschnitt 5.4 PHYSIK III 221Die Gesamtamplitude in P kann durch Integration von f (x,y)exp(ik 0 XBP) über das Beugungsobjektberechnet werden:∫∫Ψ P = exp(ik 0 OAP)f (x,y) exp [−ik 0 (lx + my)]dxdy . (5.4.6)Wir können u ≡ lk 0 und v ≡ mk 0 dazu verwenden, die Position von P zu beschreiben, und erhalten∫∫Ψ(u,v) = exp(ik 0 OAP)f (x,y) exp [−i(ux + vy)]dxdy . (5.4.7)Wir erhalten somit folgendes wichtige Ergebnis:Das Beugungsmuster der Fraunhofer-Beugung ist durch die zweidimensionaleFourier-Transformierte der Transmissionsfunktion f (x,y) des Beugungsobjekts gegeben.Eine ausführliche Diskussion der Fourier-Transformation wird in Anhang B gegeben.Die Koordinaten (u,v) können auch mit den Beugungswinkeln θ x = 90 ◦ −α und θ y = 90 ◦ −β zwischendem Vektor (l,m,n) und den vertikalen bzw. horizontalen Ebenen, die die Koordinatenachsen enthalten(zy- bzw. zx-Ebene), verknüpft werden. Es ist l = cos α = sinθ x und m = cos β = sin θ y und es gilt damitu = k 0 sin θ x , v = k 0 sinθ y . (5.4.8)Die Koordinaten (p x , p y ) von P können mit (u,v) verbunden werden, wenn die Details der Linse bekanntsind. Im Rahmen der Gauß’schen Näherung gilt n ≃ 1 und damitp x = f l/n ≃ uf/k 0 p y = f m/n ≃ vf/k 0 . (5.4.9)Beobachten wir ein Beugungsmuster oder photographieren wir es, messen wir die Intensität |Ψ(u,v)| 2 .Der genaue Wert von OAP, d.h. der Phasenfaktor, ist deshalb unwesentlich. Obwohl es einige Experimentegibt, bei denen der Phasenfaktor wichtig ist (siehe nächster Abschnitt), ist es üblich, diesen zuvernachlässigen und anstelle von (5.4.7) zu schreiben:Ψ(u,v) =∫∫f (x,y) exp [−i(ux + vy)]dxdy . (5.4.10)2003
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