Beugung und Interferenz - Walther MeiÃƒÂŸner Institut

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246 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und InterferenzAtome in der Zelle an (Elektronendichte bei Röntgenstrahlen). Die Beugungsfunktion des Kristalls ergibtsich als das Produkt der Fourier-Transformierten dieser drei Funktionen. Diese Idee ist in Abb. 5.31 fürden zweidimensionalen Fall skizziert. Diese Vorgehensweise würde zu einem unendlich ausgedehntenKristall führen. Wir schränken deshalb seine Ausdehnung ein, indem wir die Faltung mit einer Funktionmultiplizieren, die die Kristallränder repräsentiert.Aus dem Faltungssatz (siehe (B.71) in Anhang B.5) können wir folgern, dass die Transformierte derElektronendichtefunktion als Faltung der Transformierten der Begrenzungsfunktion mit dem Produktvon drei anderen Transformierten ausgedrückt werden kann, nämlich die des Atom, die des Satzes derDelta-Funktionen, die die Atompositionen in der Einheitszelle repräsentieren, und die des Kristallgitters.Dies ist eine vollständige Beschreibung der Theorie der Röntgenbeugung. Was wir jetzt noch brauchensind kleinere Details, die aber leicht ganze Lehrbücher füllen, da die einzelnen Teilaspekte oft sehrkomplex sind. Wir werden uns im Folgenden nur mit den wesentlichen Aspekten befassen. Wir werdendie Beugung am Kristallgitter diskutieren und uns um die Bestimmung der Positionen der einzelnenAtome innerhalb einer Elementarzelle kümmern.5.6.2 Beugung an einem dreidimensionalen GitterWir wollen nun das Beugungsmuster diskutieren, das durch ein dreidimensionales Gitter von Delta-Funktionen erzeugt wird. Wir nehmen dazu eine einlaufende Welle mit Wellenvektor k 0 an, die in eineWelle mit Wellenvektor k gebeugt wird. Aus Gründen der Energieerhaltung (elastische Streuung) müssendie einlaufende und die gebeugte Welle die gleiche Frequenz haben. Wegen ω 0 = ck müssen die Beträgevon k 0 und k gleich sein:|k| = |k 0 | . (5.6.1)Alternativ kann man die Formulierung benutzen, dass beide Wellen die gleiche Zeitabhängigkeitexp(−iω 0 t) besitzen müssen. Diese Bedingung kann geometrisch dadurch dargestellt werden, dass k 0und k Radiusvektoren einer Kugel sein müssen, die Ewald-Kugel, Reflexionskugel oder Beobachtungskugelheißt (siehe Abb.5.32). Eine Beugungsordnung, die die obige Bedingung erfüllt, heißt Bragg-Reflex. 14Wir berechnen nun die Amplitude der in Richtung k gebeugten Welle. Die Delta-Funktion am Gitterpunktr ′ wirkt als Sekundärquelle mit einer Stärke, die proportional zu der einfallenden Welle an diesemPunktΨ s = exp[i(k 0 · r ′ )] (5.6.2)ist. Die Proportionalitätskonstante setzen wir hier aus Gründen der Einfachheit gleich eins. Diese Quellestreut nun eine Welle in Richtung k, die wir alsΨ(k) = exp (i[(k · r)+φ]) (5.6.3)c○Walther-Meißner-Institut
Abschnitt 5.6 PHYSIK III 247k 0k-k 0kAbbildung 5.32: Ewald-Kugel.schreiben können. Hierbei stellt φ eine bislang beliebige Phase dar. Diese Welle geht wie (5.6.2) von r ′aus, so dass gelten mussexp[i(k 0 · r ′ )] = exp(i[(k · r ′ )+φ]) . (5.6.4)Daraus folgtφ = (k 0 − k) · r ′ (5.6.5)sowieΨ(k) = exp ( i[(k · r)+(k 0 − k) · r ′ ] ) . (5.6.6)Der vollständig gebeugte Strahl mit Wellenvektor k kann daher durch Summation von (5.6.6) über allemöglichen r ′ des Gitters aus Delta-Funktionen mit den Gittervektoren a, b und c erhalten werden. NachAbschnitt 5.5.4 erhalten wirf (r ′ ) =∞∑ δ(r − ha − kb − lc) h,k,l ganzzahlig , (5.6.7)h,k,l=−∞was sich zu der Summe14 Benannt nach W. L. Bragg, der 1912 die Idee der Reflexion von Röntgenstrahlen an Kristallebenen einführte.2003
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