Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

Abschnitt 5.7 PHYSIK III 289• Fraunhofer-Beugung:1. Die Amplitudenverteilung Ψ(u,v) des Fraunhoferschen Beugungsbildes in der Beobachtungsebeneist durch die Fourier-Transformierte der Transmissionsfunktionf (x,y) des beugenden Objekts gegeben:∫∫Ψ(u,v)= f (x,y)exp[−i(ux + vy)] dxdy.Hierbei sind u ≡ k 0 sinθ x und v ≡ k 0 sinθ y durch die Beugungswinkel θ x und θ y sowieden Wellenvektor k 0 (bzw. Wellenlänge λ = 2π/k 0 ) der einlaufenden Welle gegeben.2. Das Beugungsmuster eines unendlich langen Spalts (in y-Richtung) mit Breite b (inx-Richtung) ist durch( ) sin(bu/2) 2I(u,v)=b 2 · δ(v)bu/2gegeben.3. Das Beugungsmuster einer Lochblende mit Radius R ist durch( 2J1 (ξ R)I(ξ )=I(0)ξ Rgegeben, wobei ξ = 2π λ sinθ und J 1 die Besselfunktion erster Ordnung ist.4. Das Beugungsmuster von beugenden Objekten mit komplizierterer Geometrielässt sich in vielen Fällen durch Ausnutzen des Faltungstheorems der Fourier-Transformation) 2FT(A ⊗ B)=FT(A) · FT(B)erhalten: Die Fourier-Transformierte der Faltung von zwei Funktionen A und B istgleich dem Produkt der Fourier-Transformierten dieser zwei Funktionen.5. Das Beugungsmuster eines Doppelspaltes (Spaltbreite b, Position −a/2 und +a/2)ergibt sich durch Fourier-Transformation der Transmissionsfunktion f DS = f Spalt (x) ⊗[δ(x − a/2)+δ(x + a/2)] des Doppelspalts zuI DS = I DS (0) cos 2 (ua/2) sin2 (bu/2)(bu/2) 2 ,also aus dem Produkt des Beugungsmusters des Einzelspalts (Beugungsfunktion)und einer cos 2 -Funktion (Interferenzfunktion). Letztere ist die Fourier-Transformierteder beiden Delta-Funktionen, die die Positionen der Spalte angeben.6. Das Beugungsmuster eines Gitters aus N Spalten der Breite b ergibt sich als Produktdes Beugungsmusters des Einzelspalts (Beugungsfunktion) und der InterferenzfunktionI Gitter = I(0)( ) sin(uNa/2) 2.sin(ua/2)Letztere ist die Fourier-Transformierte einer Summe aus N δ-Funktionen, die diePositionen der einzelnen Gitterspalte angibt.2003