Beugung und Interferenz - Walther MeiÃƒÂŸner Institut

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236 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und InterferenzR(a)a=3R(b)Abbildung 5.25: (a) Geometrie des Doppellochblende und (b) Fraunhofer-Beugungsmuster der Anordnungfür einen Blendenabstand a = 3R.Spalten. Wie bereits oben gemacht, werden wir den Beitrag der periodischen Anordnung zur Transmissionsfunktionf Gitter durch Delta-Funktionen darstellen. Für N Spalte erhalten wir die Funktion f Gitterzuf Gitter =N/2∑ δ(x − na) . (5.5.8)n=−N/2Die Fourier-Transformierte von f Gitter , die proportional zum gebeugten Feld ist, wird damitΨ Gitter (u) =N/2∑ exp(−iuma) =m=−N/2N/2∑ [exp(−iua)] m . (5.5.9)m=−N/2Für N → ∞ ist diese Summe (vergleiche hierzu Anhang B.3, Gleichung (B.40))Ψ Gitter (u) =∞∑ δ(u − 2πmm=−∞ a ) . (5.5.10)c○Walther-Meißner-Institut
Abschnitt 5.5 PHYSIK III 237Hierbei wird der Index m Beugungsordnung genannt. Ist N endlich, ist die Summe der geometrischenReihe in (5.5.9) 12Ψ Gitter (u) = 1 − exp(−iuNa)1 − exp(−iua). (5.5.11)Die Intensität ist gegeben durchI Gitter = |Ψ Gitter (u)| 2 = sin2 (uNa/2)sin 2 (ua/2), (5.5.12)Dieser Ausdruck ist in Abb. 5.26 für N = 6 dargestellt. Man erhält Nullstellen für die Nullstellen desZähler, außer an den Stellen, an denen auch der Nenner null wird. Dort ist der Funktionswert N 2 . Nimmtdie Zahl der Blenden zu, so nimmt die Zahl der Nullstellen ebenfalls zu. Die Maxima der IntensitätN 2 – Hauptmaxima genannt – sind dann sehr stark hervorgehoben im Vergleich zu den schwachen Nebenmaxima,von denen es genau n − 2 zwischen den Hauptmaxima gibt. Tatsächlich approximieren dieHauptmaxima die Delta-Funktionen in (5.5.10), nämlich δ(u − 2mπ/a).Die Bedingung für das Auftreten der Hauptmaxima ist ua/2 = mπ. Da bei senkrechtem Lichteinfallu =(2π/λ)sin θ, erhalten wir∆s = a sinθ = ±m λ m = 0,1,2,3,... . (5.5.13)Hierbei ist ∆s der Laufwegunterschied von Teilwellen, die von benachbarten Gitterspalten ausgehen(siehe Abb. 5.27). Dies ist die wohlbekannte Bragg-Bedingung für die Beugung an einem Gitter. Dieeinzelnen Hauptmaxima heißen Beugungsmaxima m-ter Ordnung. Wegen sin θ ≤ 1 ist für senkrechtenLichteinfall die maximale Beugungsordnung m max durchm max = a λ(5.5.14)gegeben.Die Bedeutung von (5.5.13) ist anhand von Abb. 5.27 veranschaulicht. Der Gangunterschied zwischenzwei an benachbarten Gitterspalten um einen Winkel θ gebeugten Wellen beträgt gerade asin θ. KonstruktiveInterferenz aller gebeugten Strahlen tritt nun genau dann auf, wenn der Gangunterschied derbenachbarten Strahlen gerade einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge λ entspricht. Damit erhaltenwir asin θ = mλ, also genau die Bragg-Bedingung (5.5.13). Das entstehen der Nebenmaxima kannman sich so erklären, dass die Bedingung der konstruktiven Interferenz nicht mehr zwischen allen Strahlenerfüllt ist, sondern nur mit einem kleinen Anteil, z.B. für jeden 3. Strahl. Die dazwischen liegendenStrahlen führen dann aber zu destruktiver Interferenz, weshalb die Nebenmaxima wesentlich niedrigersind.12 Für die Summe einer fallenden geometrischen Reihe gilt S n = a 1(1−q n )1−q , wobei im betrachteten Fall a 1 = 1 und q =exp(−iua) ist.2003
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