Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

Abschnitt 5.5 PHYSIK III 241Die Amplituden der verschiedenen Beugungsordnungen sind durch die Transformierten B(U) der einzelnenBlenden gegeben.Ein endliches Gitter (alle realen Gitter sind natürlich endlich) erhält man durch Aufsummieren von(5.5.21) bis zu einem endlichen Wert N. Dies lässt sich bequem dadurch ausdrücken, dass man dieunendliche Summe mit einer “Fensterfunktion” rect(x/Na) der Länge Na multipliziert, die nur N Deltafunktionen“hindurchlässt”. Damit wird das Gitter durch[ ∞∑]f (x) = b(x) ⊗ δ(x − na) · rect(x/Na)n=−∞, (5.5.24)beschrieben. Wichtig ist hier die Reihenfolge der Rechenoperationen; es ist für die Darstellung einer endlichenReihenfolge von Spalten wichtig, zuerst die Produktbildung auszuführen und danach die Faltung(Faltung und Multiplikation sind nicht kommutativ !).Das Beugungsmuster zu (5.5.24) ist[ (Ψ(u) = B(u) · ∑δ u − 2πm )⊗ sin(uNa/2) ]a uNa/2. (5.5.25)Man sieht, dass es für große N wohldefinierte Beugungsordnungen, wie sie durch (5.5.16) definiert sind,gibt. Jede von ihnen hat aber ein sinx/x Profil. Dieses hat die Breite (Abstand zwischen dem Maximumund dem ersten Minimum) ∆u = 2π/Na,was(1/N) des Abstandes zwischen den Beugungsordnungenentspricht.5.5.4 Vertiefungsthema:Zweidimensionale InterferenzIn den bisherigen Beispielen zu periodischen Gittern haben wir uns nur mit Beugungsobjekten befasst,die in einer Richtung (v-Richtung) unendlich ausgedehnt waren. Die Transmissionsfunktion besaß alsonur in u-Richtung eine Modulation. Entsprechend hatte das Beugungsmuster ebenfalls nur in u-Richtungein Muster (siehe z.B. Abb. 5.29a). Analog besitzt ein Gitter, dessen Modulation nur entlang der v-Richtung ist, ein Beugungsmuster mit einer Struktur entlang dieser Richtung (siehe Abb. 5.29b). Wirbetrachten jetzt zweidimensionale Gitterstrukturen, die sowohl in u- als auch in v-Richtung eine periodischeModulation besitzen. Man erhält dann eine zweidimensionale Anordnung von Hauptmaxima (sieheAbb. 5.29c).Das KreuzgitterFür ein zweidimensionales Kreuzgitter mit Gitterperiode a u und a v in u und v-Richtung ergibt sich dieLage der Hauptmaxima durch zwei Gittergleichungen für die beiden Koordinaten:a u (sinθ x − sinθ x0 ) = ±m u λ m u = 0,1,2,3,... (5.5.26)a v (sinθ y − sinθ y0 ) = ±m v λ m v = 0,1,2,3,... . (5.5.27)2003