Beugung und Interferenz - Walther Meißner Institut

226 R. GROSS Kapitel 5: Beugung und Interferenz5.4.4 Beugung an phasenschiebendem ObjektWir betrachten nun ein Objekt, das Licht nicht absorbiert und dadurch die Amplitude des Lichts konstantlässt, aber bei der Transmission seine Phase beeinflusst. Jedes Fensterglas wird sich z.B. so verhalten:es ist durchsichtig, aber seine Dicke ist nicht konstant, wodurch Licht, das an unterschiedlichen Stellendas Glas durchläuft, unterschiedliche Phasenschiebungen erfährt. Ist der Brechungsindex des Glases n,so ist der Unterschied in der Länge des optischen Weges zwischen zwei Wegen mit den Glasdicken d 1und d 2 gerade (n − 1)(d 1 − d 2 ). Dadurch ist eine ebene Wellenfront, die auf der einen Seite des Glaseseinläuft, auf der anderen Seite des Glases keine ebene Welle mehr. Da wir Wellen verschiedener Phaseaber gleicher Amplitude durch komplexe Amplituden mit gleichem Vorfaktor darstellen können, könnenwir dieses Phasenobjekt durch eine komplexe Transmissionsfunktion f (x,y) mit konstantem Vorfaktordarstellen. Betrachten wir z.B. ein dünnes Prisma mit einer Dicke d = αx an der Stelle x, so erhalten wir:f (x,y) = exp[ik 0 (n − 1)d]=exp[ik 0 (n − 1)αx] (5.4.23)Nehmen wir ferner an, dass das Prisma in x- und y-Richtung unendlich ausgedehnt ist, so hat das zuf (x,y) gehörige Beugungsmuster die FormΨ(u,v) =∫ ∞−∞exp[ik 0 (n − 1)αx] exp(−iux)dx∫ ∞−∞exp(−ivy)dy= δ[u − (n − 1)k 0 α] δ(v) . (5.4.24)Die gebeugte Welle breitet sich daher in eine Richtung aus, die durchu = k 0 (n − 1)α, v = 0 (5.4.25)gegeben ist. Setzt man u = k 0 sinθ x in diese Gleichung ein, erhält man θ x =(n − 1)α für kleine θ x . DasLicht bleibt daher in eine Ausbreitungsrichtung konzentriert, wird aber von der Einfallsrichtung um einenkonstanten Winkel abgelenkt, wie wir es mit Hilfe der geometrischen Optik bereits hergeleitet haben.5.4.5 Beugung an einer RechteckblendeWir verwenden nun einen Spalt mit endlicher Breite b und Höhe h in y-Richtung. Die Kanten des Spaltssollen parallel zur x- und y-Richtung sein. Die beiden Beugungsintegrale haben damit unabhängige Integrationsgrenzenund (5.4.10) kann alsΨ(u,v) =∫ b/2−b/2exp(−iux)dx∫ h/2−h/2exp(−ivy)dy . (5.4.26)geschrieben werden. Hierbei haben wir angenommen, dass die Transmissionsfunktion f (x,y) über diegesamte Blende gleich eins ist. Da wir den Ursprung in das Zentrum der Blende gelegt haben, erhaltenwir eine gerade Funktion, die eine reelle Fourier-Transformierte besitzt. Wir erhaltenc○Walther-Meißner-Institut