CHIMIE

(*) On utilise fréquemment la constante
notée et appelée constante de
Planck réduite.
x 0
x
z 0
O
z
M 0
dy
dx
dz
y 0
Doc. 2 Élément de volume en
coordonnées cartésiennes.
x
O
z
y
surface (S )
Doc. 3 Détermination de P(t), la
probabilité de trouver la particule
dans un volume t .
La surface fermée (S ) délimite le
volume t . On découpe t en une
infinité de petits cubes élémentaires
de volume d 3 t et on somme les probabilités
de présence dans chacun
de ces petits cubes. On calcule ainsi
une intégrale qui est triple, car il y
a trois variables d’espace qui doivent
parcourir chacune leur
domaine de variation.
y
■ Énergie et durée
Si un système a une durée de vie de l’ordre de δt, son énergie E est dispersée
dans un intervalle de largeur δE tel que (*) :
COURS
L’énergie d’un état n’est définie avec précision que si cet état a une durée de
vie très longue, c’est-à-dire si cet état est très stable. La conséquence de cette
limitation est que toutes les raies spectrales ont une certaine largeur.
■ Position et quantité de mouvement
Si une particule se trouve à la distance r de l’origine, à δr près, la norme de sa
quantité de mouvement est dispersée dans un intervalle de largeur δp tel que :
La quantité de mouvement d’un système n’est définie avec précision que si le
système, dans cet état, a une extension spatiale très grande.
1.3 Fonctions d’onde
1.3.1. Définition
À une particule en mouvement est associée une onde dont l’amplitude dépend
des coordonnées d’espace et de temps de la particule, soit Y (x, y, z, t). Y est
appelée fonction d’onde de la particule. Y n’a pas de sens physique, mais
contient toute l’information accessible concernant la particule. Y peut être une
fonction complexe. Dans ce qui suit, nous ne considèrerons que des systèmes
stationnaires, c’est-à-dire des systèmes dont les caractéristiques sont indépendantes
du temps t. Nous ne nous intéresserons donc qu’à la partie spatiale
Y (M), des fonctions d’onde.
1.3.2. Fonction d’onde et probabilité
■ Considérons un point M 0 de l’espace, repéré par (x 0 , y 0 , z 0). Quelle est la
probabilité de trouver la particule au voisinage du point M 0 , c’est-à-dire à
l’intérieur d’un petit cube de volume dx . dy . dz, centré sur M 0 (doc. 2) ?
Cette probabilité d 3 P est, par définition :
d 3 P = Y*(x 0 , y 0 , z 0) . Y(x 0 , y 0 , z 0) . dx . dy . dz
• Y* représente la fonction complexe conjuguée de Y : elle est obtenue en changeant
i en – i;(i 2 = – 1).
•dx.dy.dzreprésente l’élément de volume en coordonnées cartésiennes ; plus
généralement, l’élément de volume centré sur le point M 0 est noté d 3 t (M 0) .
•La quantité Y* . Y, appelée carré de la norme, est homogène à une probabilité
par unité de volume : elle représente la densité de probabilité de présence
de la particule en M 0, D(M 0).
Remarque
Modèle quantique de l’atome
dE . dt
dp. dr
Si Y est une fonction à valeurs réelles, Y* . Y n’est autre que Y 2 .
■ La probabilité P(t) de trouver la particule dans un volume t (doc. 3) se calcule
par une intégrale portant sur le carré de la norme ; on dit pour cela que
Y est de carré sommable :
P (t) = Y* (M) . Y (M) . d 3 D(M) . d t (M)
3 t (M) =
t
t
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