Bevezetés a mechatronikába - MEK

3. Fizikai rendszerek modellezése
Az előző fejezetben tárgyaltak alapján joggal tevődik fel a kérdés, hogy miként lehetne
a sokféle rendszert típusától függetlenül tárgyalni. Ha például egy terméket
kell jellemezni, ennek teljesítményét a rendszert alkotó komponensek határozzák
meg. Amint a fénymásoló példájában látható volt, egy rendszer teljessége több
tudományterületet ölelhet fel, ezért egy olyan eszközhöz kell folyamodni, mely lehetővé
teszi az alrendszerek egyenértékűségét. Ez a közös nyelv nem más, mint a
matematikai meghatározások együttese, melyek segítenek átölelni, egymásba fonni
az alrendszerek működését. Sok esetben olyannyira átalakul az adott alegység
nézete, hogy a leírt (fizikai) és a leíró (matematikai) modell közötti összefüggés
csak tapasztalt szemmel azonosítható. Az elkövetkezőkben néhány módszert mutatunk
be, melyek segítségével a fent említett modellezés megvalósítható.
3.1. Differenciálegyenlet modell
Mivel egy modellnek hűen kell tükröznie egy dinamikus rendszer statikus és dinamikus
jellegzetességeit, a legkézenfekvőbb, ha a matematikai modell egy differenciálegyenlet-rendszerben
testesül meg. Ezekben az egyenletekben a be- és kimenőjel
bármely rendű deriváltja jelen lehet lineáris kombinációt alkotva. Abban az
esetben, ha egy adott rendszerre egy kimenőjel x(t), illetve csak egy bemenőjel r(t)
létezik, akkor a rendszer a következő egyenlettel jellemezhető:
d d
d d
ao x( t)
a1 x(
t)
a2
x(
t)
... b r(
t)
b1
r(
t)
b2
r(
t)
...
2
o
(3.1)
2
dt dt
dt dt
A rendszer paraméterei az egyenlet együtthatóiban elrejtve jelentkeznek, és ha
ezek az együtthatók időben változnak, akkor egy időben változó rendszerről van szó.
Természetesen az időben állandó együtthatók egy időben állandó rendszert írnak le.
Ha a (3.1) egyenlet együtthatói felépítésében részt vesznek a be- vagy kimenőjel
idő szerinti deriváltjai, akkor a modell egy nemlineáris rendszert jellemez. A gyakorlatban
a legtöbb fizikai rendszer nemlineáris tulajdonságú. Mivel a nemlineáris matematikai
modellezés nagyon nehézkes, és teljes mértékben még nincs kidolgozva,
célszerű a nemlineáris jelenségeket lineáris modellekkel helyettesíteni, tehát
linearizálni. A nemlineáris jelenségeket bizonyos fokig, illetve bizonyos határok között
lehet linearizálni, tehát lineáris differenciálegyenletekkel jellemezni. Ebből kiindulva
a mechatronikus mérnöknek nem csak az a feladata, hogy matematikailag
pontosan leírja a rendszereket (bármely típusú rendszerről legyen szó: villamos, mechanikai,
hidrosztatikus, stb.), hanem, hogy megfelelő feltevésekkel és közelítések-
16
2
2