Bevezetés a mechatronikába - MEK

Fizikai rendszerek modellezése
A további alkalmazáshoz a fenti két egyenlet átrendeződik úgy, hogy az egyenletek
bal oldalán csak az állapotváltozók idő szerinti deriváltja legyen jelen:
d
R
1
1
i( t)
i(
t)
v ( t)
v(
t)
, (3.39)
k
dt
L
L
L
d 1
v ( t)
i(
t)
. (3.40)
k
dt
C
Így elhelyezve, észrevehető az a mátrixösszefüggés, mellyel helyettesíteni lehet a
(3.39) és (3.40) egyenleteket (az egyszerűség kedvéért az idő-paraméter nem jelenik
meg):
i
v
k
R
L
1
C
1
L
0
i
v
k
1
L
0
v . (3.41)
Ebből az esetből általánosítható a megoldás egy n-ed fokú rendszerre is. Feltételezve,
hogy x 1 (t), x 2 (t), ..., x n (t) az állapotváltozók, míg u 1 (t), u 2 (t), ..., u m (t) a rendszer
bemenő paraméterei, egy n elsőfokú differenciálegyenletből álló rendszer képezhető:
x
a x
a x
a x b u b u b u ;
1
x
2
x
n
11 1
a
a
21 1
n1
x
x
1
12
a
a
22
n2
2
x
x
2
2
1n
n
a
2n
n
a
nn
x
x
n
b 11 1
b 12 2
b 21 u1
b 22 u2
b n 1
u
1
b n 2
Átrendezve az előbbi egyenletrendszert mátrix egyenletté:
x
1 a11
a12
a1
n x1
b11
b12
x
a a a x b b
2
x
n
a
21
n1
a
22
n2
a
2n
nn
x
2
n
b
21
n1
b
u
22
n2
2
b 1 m m
b 2 mum
b
b nm
b
1m
2m
b
nm
u
m
u
u
;
.
1
m
(3.42)
. (3.43)
Ez utóbbi egyszerűbben is felírható:
x A
x
B
u. (3.44)
A (3.44) egyenlet a vizsgált rendszer mátrix-vektor állapotegyenlete, melyben a
vektorokat kis, félkövér betűkkel, a mátrixokat nagy, félkövér betűkkel jelöltük, továbbá
az x , x és u vektorok az idő függvényében vannak kifejezve. A módszer
áttekinthetősége miatt, lehetőségünk van a számításokat leellenőrizni a mátrixalgebra
segítségével. Tudva, hogy az egyenlet jobb és baloldalán a vektorok mérete
meg kell egyezzen, vigyázni kell, hogy az A mátrix nxn, a B nxm, illetve az x vektor
nx1 és az u vektor mx1 méretű legyen. Visszatérve az RLC áramkör példájához,
37