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5.2 Apêndice B: Cálculo dos Parâmetros de Judd-Ofelt
5.2.1 Método dos Mínimos Quadrados para Encontrar os Parâmetros de Judd-
Ofelt
Dada uma função que depende em geral de “ x” (x 1 , x 2 , ..., x k ) e pode ser expressa como
combinação linear de n funções f n , temos que:
y
y
y
1
2
k
= a
1
= a
1
= a
1
f
f
f
1
( x1
) + a2
f
2
( x1
) + ... + an
f
n
( x1
)
( x2
) + a2
f
2
( x2
) + ... + an
f
n
( x2
)
( x k
) + a2
f
2
( x k
) + ... + a n
f n
( a k
)
1
1
Na forma matricial, esta equação pode ser escrita como;
⎛ y
⎜
⎜ y
⎜
.
⎜
⎜.
⎜
⎝ y
1
2
k
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
f
f
f
1
1
1
( x1
) f
2
( x1
)...
f
n
( x1
)
( x ) f ( x )...
f ( x )
.
.
2
2
.
.
2
...
...
⎞ ⎛a
⎟ ⎜
⎟ ⎜a
⎟
×
⎜
.
⎟ ⎜
⎟ ⎜.
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ( xk
) f
2
( xk
)...
f
n
( xk
) an
⎠
n
2
.
.
1
2
⎞
As incógnitas são os parâmetros a 1 , a 2 , ... a n que satisfazem esse sistema de equações.
O método dos mínimos quadrados para encontrar os a n ’ s propõe minimizar a magnitude
de χ 2 , que é definido como:
2
χ
=
k
∑
i
[ y − a f ( x ) − a f ( x ) − ... − a f ( x )]
1
1
1
i
2
2
1
n
n
i
2
242