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Minimizando este χ 2 que por definição é derivar com respeito a cada uma das incógnitas
a j e igualar a zero., teremos:
2 k
( χ )
= { y − a f ( x ) − a f ( x ) − ... − a f ( x )} × ( − f ( x ))
∂
∂a
j
∑ 2
i 1 1 i 2 2 i
n n i
j i
= 0
i
Obtém-se com isto o seguinte sistema de n – equações com n – incógnitas:
k
( x ) = a f ( x ) f ( x ) + a f ( x ) f ( x ) + + a f ( x ) f ( x )
∑y i
f
j i 1 ∑ 1 i j i 2∑ 2 i j i
...
n∑
i
k
i
k
i
k
i
n
i
j
i
Para j = 1, temos:
k
( x ) = a f ( x ) f ( x ) + a f ( x ) f ( x ) + + a f ( x ) f ( x )
∑ i
f1 i 1∑ 1 i 1 i 2∑ 2 i 1 i
...
n∑
i
k
k
k
y
n i 1
i
i
i
i
Para j = 2, temos:
k
( x ) = a f ( x ) f ( x ) + a f ( x ) f ( x ) + + a f ( x ) f ( x )
∑ i
f
2 i 1∑ 1 i 2 i 2∑ 2 i 2 i
...
n∑
i
k
k
k
y
n i 2
i
i
i
i
Para j = 3, temos:
k
( x ) = a f ( x ) f ( x ) + a f ( x ) f ( x ) + + a f ( x ) f ( x )
∑ i
f3 i 1∑ 1 i 3 j i 2∑ 2 i 3 i
...
n∑
i
k
k
k
y
n i 3
i
i
i
i
Finalmente, para j = n, temos:
k
( x ) = a f ( x ) f ( x ) + a f ( x ) f ( x ) + + a f ( x ) f ( x )
∑y i
f
j i 1 ∑ 1 i n i 2∑ 2 i n i
...
n∑
i
k
i
k
i
k
i
n
i
n
i
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