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H
o
= −
∑
i
2 2
h ∆ i
m
−
∑
ze
r
+
∑
2 i= 1 i i=
1 ij
2
e
r
2
(1.2)
H SO é a interação spin-órbita dada por:
H SO
= λ( S,
L)
L.
S
(1.3)
e V crist é a energia potencial devido ao campo cristalino em torno da terra rara. O número
de elétrons em um íon é assumido ser N. A aproximação padrão para H o é empregar uma
aproximação de campo central na qual cada elétron é assumido mover-se
independentemente em um potencial de simetria esférica formado pelo núcleo e o
potencial médio de todos os outros elétrons.
As soluções para este problema podem então ser fatoradas no produto de uma função
radial e angular. Enquanto a função radial depende dos detalhes do potencial, a simetria
esférica assegura que a componente angular é idêntica ao do átomo de Hidrogênio e pode
ser expressa como harmônicos esféricos. As soluções do problema do campo central são
produtos de estados de um elétron que são anti-simétricos sob a troca de um par de
elétrons, como requerido pelo princípio de exclusão de Pauli.
Como estas soluções são construídas dos estados hidrogênicos, o momento angular
orbital total L e o spin total S são “ bons” números quânticos (isto é, autovalores exatos
da Hamiltoniana). L e S são as somas vetoriais dos números quânticos orbital e de spin
para todos os elétrons 4f no íon. Cada elétron 4f conta com um número quântico orbital
de 3 e um número quântico de spin de ½. O momento angular orbital total é especificado
pelas letras S, P, D, F, G, H, I, J, K,... para representar L = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...,
respectivamente. Cada estado 4f N desdobra em vários estados 2S+1 L devido à interação
colombiana entre os elétrons 4f. O acoplamento Russell-Saunders é utilizado para os
estados das terras raras. Neste esquema L e S são vetorialmente adicionados para formar
o momentum angular total J e os estados são nomeados como 2S+1 L j .
Os números quânticos (L, S, J e M que é o número quântico zenital de J):
J = L − S , L − S + 1, L − S + 2,..., L + S,
M = −J,
− J + 1, − J + 2,..., J )
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