LÄ°NEER MODELLER

166
4.2.5 L İNEER TAHMIN ED İLEB İLME
TANIM 4.2.5.1 Bir para ınetre (parametrenin bir foksiyonu) için yans ız ve
lineer (örneklemin lineer dönü şümü olan) bir tahmin edici varsa bu
parametreye (parametrenin fonksiyonuna) lineer tahmin edilebilir veya
k ısaca tahmin edilebilir denir.
Y = Xfi+E modelinde X:n x p , ( n > p) matrisinin rank ı rank(X) = p
olduğunda p parametresi lineer tahmin edilebilir, çünkü Y
(X'x)-I X'Y lineer fonksiyonunun beklenen de ğeri,
E[(X'X) -I X'Y]= E[(X'X) -I X'(X fl+E)]-= ,tifi e RP
örnekleminin
d ır. Model tam rankl ı olmad ığında, yani rank(X) = k < p olduğunda fi
parametresi lineer tahmin edilebilir mi? Ba şka bir ifade ile,
E(CY) = fl ,V fl E R P
olsak şekilde (':px n matrisi varm ıdır? Olduğunu varsayal ım. O zaman,
E(Cy)- E[c(Xfi+s)]=Cxfi-fi , vfieRP
olmal ı, yani
Cx =
olmal ıd ır. Ancak e şitliğin sağ tarafındaki birim matris p x p boyutlu olup
rank ı p d ır. Sol taraflaki matris için,
rank((X) < k < p
d ır. Dolay ı s ıyla varsay ım ımız doğru değildir.
E(CY)=fl , VflERP
olacak şekilde C matrisi yoktur, yani p n ın lineer yans ız bir tahmin edicisi
yoktur. p parametresi lineer tah ınin edilemez olmas ına rağmen fi n ın baz ı
dönüşümleri tahmin edilebilir. X i3 için Y nin kendisi veya X(X'X) -1 X'Y
birer lineer yans ız tahmin edicidir. Gerçekten,
E(Y)= Xfl
d ır.
E[x(x'x) -' X'Y] = x(x90 - ' X'xp = Xp