LÄ°NEER MODELLER

A: ıı x matrisi simetrik olduğunda:
a) Özdeğerleri reel say ılard ır. Rank(A) = r ise o sayısı n-r katl ı
özdeğerdir. A ; $ 2 2 özdeğerlerine kar şıl ık gelen Av = , Aw = 2, 2 w
özvektörleri için vi w d ır.
b) A matrisinin rank ı s ıfırdan farkl ı özdeğerlerin say ıs ına (katl ı özdeğerler
kat ı kadar say ı l ınak şart ıyla) e şittir.
c) Bir A ; özdeğeri k katl ı ise,
Av =
denklemini sağlayan k tane ortogonal v özvektörü vard ır, s ıfır vektörü ile
birlikte bu k tane özvektör bir vi alt vektör uzay ı (özdeğer uzay ı)
gennektedir. A nin farkl ı özvektörleri 21,A 2 ,.. ,Ar olmak üzere bunlara
karşıl ık gelen Vi ,V2 özdeğer uzaylar ı birbirine dik ve
dır.
R" = Yi @v2 .2)...Eov,
d) A n ın özde ğerleri 2 1 ,22 ,...,2„, ve
33
/1-1 o 0
o 2 o
O 0 2,,
olsun. P: ıı x ıı ortogonal matrisi (P'P = I) A n ın normlannu ş
özvektörlerinin matrisi (e şit özdeğerler için kar şı l ık gelen özde ğer uzaym ın
ortononnal baz vektörleri) olmak üzere,
dır.
D=
AP = DP A = PDP'
A = PDP' = .1,i v i v i
i=i
gösterimine A matrisinin spektral ayr ışım ı (spectral decomposition) denir.
A 2 = En 2.21 v
i = ı
olmak üzere, biçimsel olarak, c E R için,